От Шатохина_Статиститка. Орлов, Айвазян / Лекции с прошлого семестра / Лекция № 9

Модели законов распределения вероятностей, наиболее распространённые в практике статистических исследований.

Лекция № 9. Биномиальные распределения и распределение Пуассона.

Содержание.

1.Распределения, возникающие при анализе последовательности испытаний Бернулли: биномиальное и отрицательное биномиальное.

2.Гипергеометрическое распределение.

3.Распределение Пуссона.

Говоря о том, насколько распространена та или иная модель распределения в практике статистических исследований, следует иметь в виду две возможные роли, которые эта модель может играть.

Первая из них заключается в адекватном описании механизма исследуемого реального процесса, индуцирующего подлежащую статистическому анализу генеральную совокупность.

В этом случае выбранная по тем или иным соображениям (или выведенная теоретически) модель описывает закон распределения

вероятностей непосредственно анализируемой и имеющей четкую физическую интерпретацию случайной величины:

заработной платы работника,

дохода семьи,

числа сбоев автоматической линии в единицу времени,

числа дефектных изделий, обнаруженных в проконтролированной партии заданного объема,

ит. д..

Подходы к построению таких моделей, методы их анализа и обоснования относятся к области «реалистического» (или содержательного)

моделирования.

Другая роль широко распространенных в статистических исследованиях моделей – использование их как вспомогательное техническое средство

при реализации методов статистической обработки данных.

С помощью моделей этого типа описываются распределения вероятностей некоторых вспомогательных функций от исследуемых

случайных величин, используемых для построения разного рода статистических оценок и статистических критериев.

К распределениям этого типа относятся в первую очередь распределения «хи-квадрат», Стьюдента (t-распределение) и F-распределение.

1. Распределения, возникающие при анализе последовательности

испытаний Бернулли: биномиальное и отрицательное биномиальное.

Широкий класс случайных величин, которые приходится изучать в практике статистических исследований, индуцируется последовательностью независимых случайных экспериментов следующего типа:

∙в результате реализации каждого случайного эксперимента (наблюдения) некоторое интересующее нас событие А может произойти (с некоторой вероятностью р) или не произойти (соответственно с вероятностью q = 1 - р);

∙при многократном (m-кратном) повторении этого эксперимента ве-

роятность р осуществления события А остается одной и той же, а наблюдения, составляющие эту последовательность экспериментов, являются взаимно независимыми.

Серию экспериментов подобного типа принято называть после-

довательностью испытаний Бернулли.

Можно описать эту последовательность в терминах случайных величин, сопоставляя с i-м по счету экспериментом данной последовательности случайную величину

P{X1 = l}= P{X2 = l} =...= P{Xm = l} = p, причем случайные величины X1, X2, …, Xm статистически независимы.

При определенных (как правило, приблизительно соблюдающихся на практике) условиях в схему испытаний Бернулли хорошо укладываются такие случайные эксперименты, как

бросание монеты или игральной кости,

Имея в виду, что число N(x) элементарных событий в классе с номером х равно Сmx (поскольку х единиц можно разместить на т местах Сmx различными способами), а также тот факт, что вероятность осуществления любого элементарного исхода, входящего в класс с номером х, равна, как

Это и есть формула (аналитическая запись, модель) биномиального закона распределения. Подсчет его основных числовых характеристик (который в данном случае легче реализовать, не используя прямые формулы, а опираясь на соотношение X1 + X2 +…+ Xm, взаимную независимость Xi и простоту вычисления их моментов) дает:

среднее Evp(т) = тр;

мода xmod p(m + 1) – 1 § xmod § p(m +1);

дисперсия Dvp(т) = mp(1 – p);

1 − 2 p

асимметрия B1 = mp(1 − p) ;

1 − 6 p(1 − p)

Биномиальное распределение широко, используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и в других областях практической деятельности.

Отрицательный биномиальный закон описывает распределение

вероятностью р появления интересующего нас события в результате проведения одного испытания) до k-го появления интересующего нас события (включая последнее испытание).

Нетрудно вывести аналитический вид распределения случайной

величины v_ (k) .

p

Зафиксируем любое ее возможное значение х. Из того, что при числе

испытаний v_ (k) = x впервые осуществилось заданное число k появлений

p

интересующего нас события, следует, что на предыдущем шаге, т. е. при числе испытаний, равном x – 1, мы имели k – 1 появлений того же события.

Следовательно, опираясь на теорему умножения вероятностей, мы можем записать:

Название данного закона объясняется тем, что правые части (4)

Модель отрицательного биномиального распределения применяется:

∙в статистике несчастных случаев и заболеваний,

∙в задачах, связанных с анализом количеств индивидуумов данного вида в выборках из биологических совокупностей,

∙в задачах оптимального резервирования элементов,

∙в теории стрельбы.

2. Гипергеометрическое распределение.

В одном из вариантов интерпретации биномиальной случайной величины vp(т) рассматривается бесконечная генеральная совокупность, доля р объектов которой обладает некоторым интересующим нас свойством. В этом случае vp(т) означает число объектов, обладающих этим свойством среди т объектов, случайно извлеченных из данной генеральной совокупности.

Гипергеометрическую случайную величину vMN(т) можно считать модификацией биномиальной случайной величины vp(т), приспособленной к случаю конечной генеральной совокупности, состоящей из N объектов, среди которых имеются М объектов с интересующим нас свойством.

Иначе говоря, vMN(т) – это число объектов, обладающих заданным свойством среди т объектов, случайно извлеченных (без возвращения) из совокупности N объектов, М из которых обладают этим свойством.

Очевидно, возможными значениями случайной величины vMN(т) будут все целые неотрицательные числа от mах{0, т – ( N – М)} до min{m, M}.

Для вывода аналитического вида ее закона распределения подсчитаем

вероятность события {vMN(т)= х} как отношение числа всевозможных выборок объема m, приводящих к осуществлению этого события (числа

«благоприятных» исходов), к общему числу способов, которыми можно выбрать т объектов из N (к числу всех возможных исходов).

Очевидно, каждому набору из х объектов с заданным свойством соответствует СNm−−Mx способов, которыми можно отобрать остальные т – x объектов из числа объектов, не обладающих этим свойством.

Поскольку такие наборы из х объектов с заданным свойством можно сформировать Сmx различными способами, то общее число

«благоприятных» (для события {vMN(т)= х}) исходов будет Сmx · СNm−−Mx .

Учитывая, что число всех возможных исходов, т. е. всех возможных способов, которыми можно извлечь т объектов из N предложенных, равно

СNm получаем

Cm ×CN − M

CNm

Этот закон широко используется в практике статистического приемочного контроля качества промышленной продукции, а также в различных задачах, связанных с организацией выборочных обследований.

Его основные числовые характеристики:

При N ض правая часть (5) стремится, к выражению для биномиального закона распределения (3), и соответственно среднее значение, дисперсия, асимметрия и эксцесс гипергеометрического распределения сходятся к аналогичным числовым характеристикам биномиально распределенной случайной величины (что легко устанавливается с помощью соответствующего предельного перехода).

3. Распределение Пуассона.

Если нас интересует число наступлений определенного случайного события за единицу времени, когда факт наступления этого события в данном эксперименте не зависит от того, сколько раз и в какие моменты времени оно осуществлялось в прошлом, и не влияет на будущее, а испытания производятся в стационарных условиях, то для описания распределения такой случайной величины обычно используют закон Пуассона (данное распределение впервые предложено и опубликовано этим ученым в 1837 г.).

Этот закон можно также описывать как предельный случай биномиального распределения, когда вероятность р осуществления интересующего нас события в единичном эксперименте очень мала, но число экспериментов m, производимых в единицу времени, достаточно велико, а именно такое, что в процессе р Ø 0 и m Ø ¶ произведение тр стремится к некоторой положительной постоянной величине L (т. е. трØL).

Поэтому закон Пуассона часто называют также законом редких событий.

Обозначим пуассоновскую случайную величину v0(¶) или просто v0 (имея в виду предельный переход от биномиальной случайной величины vp(т) по р Ø 0 и m Ø ¶) и выведем ее закон распределения:

Отсюда видно, что закон распределения Пуассона зависит от единственного параметра L, содержательно интерпретируемого как среднее число осуществления интересующего нас события в единицу времени.

С помощью «прямого счета» можно подсчитать основные числовые характеристики пуасcоновской случайной величины:

среднее Ev0 = L;

дисперсия Dv0= L;

1

асимметрия B1 = λ ;

1

эксцесс B2 = λ .

Пуассоновская случайная величина используется для:

∙описания числа сбоев автоматической линии или числа отказов сложной системы (работающих в «нормальном» режиме) в единицу времени;

∙числа «требований на обслуживание», поступивших в единицу времени в систему массового обслуживания;

∙статистических закономерностей несчастных случаев и редких заболеваний.

Привлекательные прикладные свойства этого закона не исчерпываются вычислительными удобствами и лаконичностью формулы (6) (модель зависит всего от одного числового параметра L!).

Оказывается, эта модель остается работоспособной и в ситуациях, отклоняющихся от вышеописанной схемы ее формирования.

Например, можно допустить, что разные бернуллиевские испытания имеют разные вероятности осуществления интересующего нас события

р1, р2, ..., рп.

В этом случае биномиальный закон применительно к такой серии испытаний уже не может быть применен, в то время как выражение (6) остается приблизительно справедливым и дает достаточно точное описание распределения интересующей нас случайной величины, если только в него

__ __

вместо L = п·р подставить величину L = п· p , где p = (р1 +… + рп)/n.

Сказанное означает, что можно предположить, что анализируемая совокупность состоит из смеси множества разнородных подсовокупностей, таких, что при переходе из одной подсовокупности в другую меняется доля р содержащихся в них объектов с заданным свойством, а следовательно, меняется и среднее число L осуществления интересующего нас события в единицу времени.

Можно далее показать, что если вместо использования среднего значения этих р (или L) (при котором мы остаемся в рамках модели (6)) ввести в рассмотрение закон распределения меняющегося параметра L, интерпретируемого как случайная величина, то мы придем к другому, но в определенном смысле близкому к пуассоновскому закону распределения.