Добавил:
Upload
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:
\documentclass[twoside]{article}
\usepackage{$HOME/sty/lec}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\tsc{а.б.~лМЕЧЮЙИЙО}}\\[.5cm]
\rule{9.7cm}{.3pt}
\vskip-9pt
\rule{9.7cm}{1pt}
\vskip 1cm
%{\LARGE\tbf{}}\\[2mm]
{\LARGE\tbf{нБФЕНБФЙЮЕУЛЙК БОБМЙЪ Ч $\R^N$}}\\[5mm]
{\Large\ttt{МЕЛГЙС 18 (12.04.2007)}}\\[5mm]
{\Large\ttt{пУОПЧОЩЕ ФПРПМПЗЙЮЕУЛЙЕ РПОСФЙС Ч $\R^N$}}\\
\vfil
{\ovalbox{\hskip-4pt\rule[-10pt]{0pt}{27pt}
\Large$\frac{\D f}{\D x}$\hskip-.5pt}}
\vfil
\large ч М Б Д Й Ч П У Ф П Л\\
2007
\end{center}
\pagebreak
\pagestyle{headings}
\markboth{\hrulefill
лМЕЧЮЙИЙО а.б
}{пУОПЧОЩЕ ФПРПМПЗЙЮЕУЛЙЕ РПОСФЙС Ч $\R^N$\hrulefill}
\section*{мЕЛГЙС 18}
\subsection*{уИПДЙНПУФШ Ч $\R^N$}
чУАДХ Ч ДБМШОЕКЫЕН
НЩ ВХДЕН УЮЙФБФШ РТПУФТБОУФЧП $R^N$ ОБДЕМЈООЩН ОПТНПК
\[
\|x\|=\sqrt{\sum_{k=1}^N|x^k|^2}=
\sqrt{|x^1|^2+|x^2|^2+\dots+|x^N|^2},
\]
\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} пФЛТЩФЩН ЫБТПН ТБДЙХУБ $\eps$ У ГЕОФТПН Ч ФПЮЛЕ
$x_0=(x_0^1,\dots,x_0^N)$ ЙМЙ $\eps$-ПЛТЕУФОПУФША ФПЮЛЙ $x_0$
ОБЪЩЧБАФ НОПЦЕУФЧП
\[
U_{\eps}(x_0)=\{x\in\R^N:\|x-x_0\|<\eps\}.
\]
УМХЮБЕ $N=2$, $U_{\eps}(x_0)$~--- ЬФП ЛТХЗ ТБДЙХУБ $\eps$ У ГЕОФТПН
Ч ФПЮЛЕ $x_0$. ч УМХЮБЕ $N = 3$, $U_{\eps}(x_0)$~--- ЬФП ПВЩЮОЩК
ЫБТ ТБДЙХУБ $\eps$ У ГЕОФТПН Ч $x_0$.
рХУФШ $(x_n)_{n\in\N}$~--- РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ ФПЮЕЛ ЙЪ РТПУФТБОУФЧБ
$\R^N$,\linebreak
$x_n=(x_n^1,x_n^2\dots,x_n^N)$.
\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} зПЧПТСФ, ЮФП РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ $(x_n)_{n\in\N}$
\tit{ЙНЕЕФ РТЕДЕМПН ФПЮЛХ} $x_0=(x_0^1,\dots,x_0^N)\in\R^N$, ЕУМЙ
ЧЩРПМОСЕФУС ХУМПЧЙЕ:
\[
\forall\eps>0\ \exists n_0\ \forall n>n_0\Rightarrow \|x_n-x_0\|<\eps.
\]
ч ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛЙИ ФЕТНЙОБИ ЬФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ЛБЛХА ВЩ ПЛТЕУФОПУФШ
$U_{\eps}(x_0)$ ФПЮЛЙ $x_0$ НЩ ОЙ ЧЪСМЙ, ОБЮЙОБС У ОЕЛПФПТПЗП ОПНЕТБ
$n_0$ (ЪБЧЙУСЭЕЗП ПФ $\eps$) ЧУЕ ЮМЕОЩ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ РПРБДБАФ
Ч ЬФХ ПЛТЕУФОПУФШ:
\[
\forall U_{\eps}(x_0)\ \exists n_0\ \forall n>n_0\Rightarrow x_n\in
U_{\eps}(x_0).
\]
зПЧПТСФ, ЮФП РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ ЧЕЛФПТПЧ $(x_n)_{n\in\N}$ \tit{ЙНЕЕФ РТЕДЕМПН
ВЕУЛПОЕЮОПУФШ} (РЙЫХФ $x_n\to\infty$), ЕУМЙ ЮЙУМПЧБС РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ
\(\|x_n\|\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty\). ч ФЕТНЙОБИ ОЕТБЧЕОУФЧ
ЬФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП
\[
\forall E>0\ \exists n_0\ \forall n>n_0\Rightarrow \|x_n\|>E.
\]
зПЧПТСФ, ЮФП РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ $(x_n)_{n\in\N}$ \tit{УИПДЙФУС}, ЕУМЙ ПОБ
ЙНЕЕФ ЛПОЕЮОЩК РТЕДЕМ.
уМЕДХАЭБС ФЕПТЕНБ РПЪЧПМСЕФ УЧЕУФЙ ЙУУМЕДПЧБОЙЕ ОБ УИПДЙНПУФШ
РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ ЧЕЛФПТПЧ ЙЪ $\R^N$ Л ЙУУМЕДПЧБОЙА ОБ УИПДЙНПУФШ
$N$ ПВЩЮОЩИ ЮЙУМПЧЩИ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЕК.
\teo{фЕПТЕНБ} (П РПЛППТДЙОБФОПК УИПДЙНПУФЙ Ч РТПУФТБОУФЧЕ $\R^N$). \\
\begin{itshape}
рХУФШ $x_n=(x_n^1,x_n^2,\dots,x_n^N)$~--- РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ
ЧЕЛФПТПЧ ЙЪ $\R^N$. ьФБ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ УИПДЙФУС ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ,
ЛПЗДБ ДМС МАВПЗП $k=1,2,\dots,N$ УИПДСФУС ЮЙУМПЧЩЕ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ
$(x_n^k)_{n\in\N}$.
\end{itshape}
д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П. $(\Rightarrow)$ рХУФШ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ
$(x_n)$ УИПДЙФУС Й $x_0$~--- ЕЈ РТЕДЕМ. чЪСЧ РТПЙЪЧПМШОПЕ $\eps>0$,
ОБКДЈН ФБЛПЕ $n_0$, ЮФПВЩ РТЙ $n>n_0$ ЧЩРПМОСМПУШ ОЕТБЧЕОУФЧП
$\|x_n-x_0\|<\eps$. оП ФПЗДБ РТЙ МАВПН $k=1,2,\dots,N$
\[
|x_n^k-x_0^k|<\sqrt{|x_n^1-x_0^1|+\dots+|x_n^k-x_0^k|+\dots+|x_n^N-x_0^N|}=
\|x_n-x_0\|<\eps,
\]
ЪОБЮЙФ, $(x_n^k)$ УИПДЙФУС Л \(x_0^k\).
($\Leftarrow$) рХУФШ РТЙ МАВПН $k=1,2,\dots,N$ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ
$(x^k_n)$ УИПДСФУС. рПМПЦЙН $\Lim_{n\to\infty}x_n^k=x_0^k$ Й РПЛБЦЕН,
ЮФП РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ ЧЕЛФПТПЧ $(x_n)$ УИПДЙФУС Л ЧЕЛФПТХ
$x_0=(x_0^1,\dots,x_0^N)$. дМС ЬФПЗП РП РТПЙЪЧПМШОПНХ $\eps>0$
РПДВЕТЈН ФБЛПЕ $n_0$, ЮФПВЩ РТЙ ЧУЕИ $k=1,2,\dots,N$ ЧЩРПМОСМЙУШ
ОЕТБЧЕОУФЧБ $|x_n^k-x_0^k|<\frac{\eps}{\sqrt N}$. фПЗДБ
\[
\|x_n-x_0\|=\sqrt{\sum_{k=1}^N|x_n^k-x_0^k|^2}<
\sqrt{\sum_{k=1}^N\Big(\tfrac{\eps}{\sqrt N}\Big)^2}=\eps.
\]
юФП Й ФТЕВПЧБМПУШ ДПЛБЪБФШ.
\teo{ъБНЕЮБОЙЕ.} ч УЙМХ РПУМЕДОЕК ФЕПТЕНЩ
ЙОПЗДБ ЗПЧПТСФ, ЮФП Ч РТПУФТБОУФЧЕ $\R^N$ УИПДЙНПУФШ РПЛППТДЙОБФОБС~---
ДМС УИПДЙНПУФЙ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ ЧЕЛФПТПЧ ОЕПВИПДЙНП Й ДПУФБФПЮОП,
ЮФПВЩ УИПДЙМЙУШ ЧУЕ <<ЛППТДЙОБФОЩЕ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ>>.
\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} рПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ $(x_n)_{n\in\N}$ ЧЕЛФПТПЧ ЙЪ
$\R^N$, \linebreak
$x_n=(x_n^1,x_n^2,\dots,x_n^N)$, ОБЪЩЧБАФ \tit{ЖХОДБНЕОФБМШОПК}
РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФША ЙМЙ \tit{РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФША лПЫЙ}, ЕУМЙ ПОБ
ПВМБДБЕФ УМЕДХАЭЙН УЧПКУФЧПН:
\[
\forall\eps>0\ \exists n_0\ \forall m,n>n_0\ \Rightarrow\|x_n-x_m\|<\eps
\]
ЙМЙ, ЮФП ФП ЦЕ УБНПЕ,
\[
\forall\eps>0\ \exists n_0\ \forall n>n_0\ \forall p\geq 1
\Rightarrow\|x_n-x_{n+p}\|<\eps.
\]
\teo{фЕПТЕНБ} (ЛТЙФЕТЙК лПЫЙ). \begin{itshape}
дМС ФПЗП ЮФПВЩ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ $(x_n)_{n\in\N}$ УИПДЙМБУШ Ч $\R^N$,
ОЕПВИПДЙНП Й ДПУФБФПЮОП, ЮФПВЩ ПОБ ВЩМБ ЖХОДБНЕОФБМШОПК.
\end{itshape}
д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П. $(\Rightarrow)$
рХУФШ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ $(x_n)_{n\in\N}$ УИПДЙФУС Ч $\R^N$ Л
ЬМЕНЕОФХ $x_0$. дМС РТПЙЪЧПМШОПЗП $\eps>0$ ОБКДЈН ФБЛПЕ $n_0$,
ЮФПВЩ РТЙ ЧУЕИ $n>n_0$ ЧЩРПМОСМПУШ ОЕТБЧЕОУФЧП $\|x_n-x_0\|<\frac{\eps}2$,
ФПЗДБ ДМС МАВЩИ $m>n_0$
\[
\|x_n-x_m\|=\big\|(x_n-x_0)+(x_0-x_m)\big\|\leq
\|x_n-x_0\|+\|x_0-x_m\|<\frac{\eps}2+\frac{\eps}2=\eps.
\]
й ОЕПВИПДЙНПУФШ ДПЛБЪБОБ.
$(\Leftarrow)$ рХУФШ $(x_n)_{n\in\N}$ ЖХОДБНЕОФБМШОБ.
ч УЙМХ ОЕТБЧЕОУФЧБ
\[
|x_n^k-x_0^k|\leq\sqrt{\sum_{k=1}^N|x_n^k-x_0^k|^2}=\|x_n-x_m\|
\]
РТЙ МАВПН $k=1,2,\dots,N$ <<ЛППТДЙОБФОЩЕ>> РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ
$(x_n^k)_{n\in\N}$ СЧМСАФУС ЖХОДБНЕОФБМШОЩНЙ, РПЬФПНХ УИПДСФУС.
пВПЪОБЮЙН $\Lim_{n\to\infty}x_n^k=x_0^k$. оП ФПЗДБ РП РТЕДЩДХЭЕК
ФЕПТЕНЕ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ $(x_n)$ УИПДЙФУС Л ЬМЕНЕОФХ
$x_0=(x_0^1,x_0^2,\dots,x_0^N)$.
юФП Й ФТЕВПЧБМПУШ ДПЛБЪБФШ.
\subsection*{пУОПЧОЩЕ ФПРПМПЗЙЮЕУЛЙЕ РПОСФЙС}
лТПНЕ УИПДЙНПУФЙ УМЕДХАЭЙЕ ОЙЦЕ РПОСФЙС СЧМСАФУС ПУОПЧОЩНЙ Ч ФПРПМПЗЙЙ Й
ВХДХФ РПУФПСООП ХРПФТЕВМСФШУС ОБНЙ Ч ДБМШОЕКЫЕН.
лБЛ НЩ ХЦЕ ЗПЧПТЙМЙ, $\eps$-ПЛТЕУФОПУФША ФПЮЛЙ $x$ НЩ ВХДЕН ОБЪЩЧБФШ
НОПЦЕУФЧП $U_{\eps}(x_0)=\{x:\|x-x_0\|<\eps\}$. лТПНЕ ФПЗП,
\tit{РТПЛПМПФПК \linebreak
$\delta$-ПЛТЕУФОПУФША} $\overset{\circ}U_{\delta}(x_0)$
ОБЪЩЧБАФ НОПЦЕУФЧП
\[
\overset{\circ}U_{\delta}(x_0)=\{x:0<\|x-x_0\|<\delta\}=
U_{\delta}(x_0)-\{x_0\}.
\]
\begin{itemize}
\item фПЮЛБ $x$ ОБЪЩЧБЕФУС \tit{ЧОХФТЕООЕК ФПЮЛПК} НОПЦЕУФЧБ $E$, ЕУМЙ
РТЙОБДМЕЦЙФ ЬФПНХ НОПЦЕУФЧХ ЧНЕУФЕ У ОЕЛПФПТПК ПЛТЕУФОПУФША:
\[
x\text{ --- ЧОХФТЕООСС ДМС } E\bydef
\exists\delta>0: U_{\delta}(x)\subset E.
\]
\end{itemize}
\begin{wrapfigure}[6]{l}{3cm}
\vskip -24pt
\includegraphics{topology.2}
\end{wrapfigure}
оБРТЙНЕТ, Ч ЛТХЗЕ $\overline U_1(\theta)$, ЕУМЙ ТБУУФПСОЙЕ ПФ ФПЮЛЙ
$x$ ДП ОХМС $\theta=(0,0,\dots,0)$ \tit{УФТПЗП НЕОШЫЕ} $1$, Ф.~Е.
$\|x\|<1$, ФП ФПЮЛБ $x$~--- ЧОХФТЕООСС (УН. ТЙУ.). еУМЙ ЦЕ
$\|x\|=1$, ФП ФБЛБС ФПЮЛБ, ПЮЕЧЙДОП, ОЕ СЧМСЕФУС ЧОХФТЕООЕК, Ф.~Л.
МАВБС ЕЈ ПЛТЕУФОПУФШ УПДЕТЦЙФ ФПЮЛЙ ОЕ РТЙОБДМЕЦБЭЙЕ ЛТХЗХ (ОЕ ЪБЛТБЫЕОЩ).
ьФП, ФБЛ ОБЪЩЧБЕНБС, \tit{ЗТБОЙЮОБС ФПЮЛБ} (ФПЮОПЕ ПРТЕДЕМЕОЙЕ: МАВБС
ПЛТЕУФОПУФШ УПДЕТЦЙФ ЛБЛ РТЙОБДМЕЦБЭЙЕ, ФБЛ Й ОЕ РТЙОБДМЕЦБЭЙЕ
НОПЦЕУФЧХ ФПЮЛЙ).
\begin{itemize}
\item нОПЦЕУФЧП $G$ ОБЪЩЧБЕФУС \tit{ПФЛТЩФЩН}, ЕУМЙ ПОП УПУФПЙФ
ФПМШЛП ЙЪ ЧОХФТЕООЙИ ФПЮЕЛ:
\[
G \text{ --- ПФЛТЩФП }\bydef \forall x\in G\ \exists\delta>0:
U_{\delta}(x)\subset G.
\]
\end{itemize}
нОПЦЕУФЧП $\overline U_1(\theta)=\big\{x:\|x\|=\sqrt{|x^1|^2+
\dots+|x^N|^2}\leq 1\big\}$ ОЕ СЧМСЕФУС ПФЛТЩФЩН, РПУЛПМШЛХ, ЛБЛ
НЩ ЧЙДЕМЙ Ч РТЕДЩДХЭЕН РТЙНЕТЕ, ПОП ЙНЕЕФ\linebreak
\begin{wrapfigure}{l}{3cm}
\vskip -6pt
\includegraphics{topology.3}
\end{wrapfigure}
\vskip -10pt
\noindent
ФПЮЛЙ ОЕ СЧМСАЭЙЕУС ЧОХФТЕООЙНЙ,
Б ЙНЕООП, ЬФП ФПЮЛЙ, ТБУУФПСОЙЕ ПФ ЛПФПТЩИ ДП ОХМС Ч ФПЮОПУФЙ ТБЧОП $1$.
оБРТПФЙЧ, НОПЦЕУФЧП $U_r(x_0){=}\big\{x:\|x{-}x_0\|{<}r\}$~--- ПФЛТЩФП.
еУМЙ ФПЮЛБ $x$ РТЙОБДМЕЦЙФ $U_r(x_0)$, ФП ТБУУФПСОЙЕ ПФ ОЕЈ ДП ФПЮЛЙ
$x_0$ УФТПЗП НЕОШЫЕ $r$ Й, ЧЪСЧ $\delta=r-\|x-x_0\|>0$, МЕЗЛП ЧЙДЕФШ, ЮФП
$U_{\delta}(x)\subset U_r(x_0)$ (УН. ЛБТФЙОЛХ).
\begin{itemize}
\item фПЮЛБ $x$ ОБЪЩЧБЕФУС \tit{РТЕДЕМШОПК ФПЮЛПК} НОПЦЕУФЧБ $E$,
ЕУМЙ МАВБС ЕЈ РТПЛПМПФБС ПЛТЕУФОПУФШ $\overset{\circ}U_{\delta}(x)$
ЙНЕЕФ ОЕРХУФПЕ РЕТЕУЕЮЕОЙЕ У НОПЦЕУФЧПН $E$:
\[
x\text{ --- РТЕДЕМШОБС ФПЮЛБ } E\bydef\forall\delta>0\quad
\overset{\circ}U_{\delta}(x)\cap E\ne\Empty.
\]
\end{itemize}
рТЕДЕМШОБС ФПЮЛБ НОПЦЕУФЧБ $E$ ОЕ ПВСЪБОБ РТЙОБДМЕЦБФШ
ЬФПНХ НОПЦЕУФЧХ, ОБРТЙНЕТ, ДМС НОПЦЕУФЧБ
$U_r(x)=\{x\in\R^N:\|x-x_0\|<r\}$ ЧУЕ ФПЮЛЙ $x$, Х ЛПФПТЩИ
$\|x-x_0\|=r$ ЕНХ ОЕ РТЙОБДМЕЦБФ, ОП СЧМСАФУС ДМС ОЕЗП РТЕДЕМШОЩНЙ.
\begin{itemize}
\item фПЮЛЙ, РТЙОБДМЕЦБЭЙЕ НОПЦЕУФЧХ $E$, ОП ОЕ СЧМСАЭЙЕУС ДМС ОЕЗП
РТЕДЕМШОЩНЙ, ОБЪЩЧБАФУС \tit{ЙЪПМЙТПЧБООЩНЙ ФПЮЛБНЙ} $E$.
\item нОПЦЕУФЧП $F$ ОБЪЩЧБЕФУС \tit{ЪБНЛОХФЩН}, ЕУМЙ ПОП УПДЕТЦЙФ
ЧУЕ УЧПЙ РТЕДЕМШОЩЕ ФПЮЛЙ.
\end{itemize}
\begin{wrapfigure}[6]{l}{3cm}
\vskip -20pt
\includegraphics{topology.4}
\end{wrapfigure}
оБРТЙНЕТ, НОПЦЕУФЧП $\overline U_r(x_0)=
\big\{x\in\R^N:\|x-x_0\|\leq r\big\}$~---
ЪБНЛОХФП. еУМЙ \(x\notin\overline U_r(x_0)\), ФП ТБУУФПСОЙЕ ПФ ФПЮЛЙ
$x$ ДП ФПЮЛЙ $x_0$ УФТПЗП ВПМШЫЕ $r$, РПЬФПНХ ЧЪСЧ $\delta=\|x-x_0\|-r$
ЧЙДЙН, ЮФП $U_{\delta}(x)$ ОЕ РЕТЕУЕЛБЕФУС У $\overline U_r(x_0)$ Й,
ЪОБЮЙФ, ФПЮЛБ $x$ ОЕ НПЦЕФ ВЩФШ РТЕДЕМШОПК.
\begin{itemize}
\item рХУФШ $E$~--- РТПЙЪЧПМШОПЕ РПДНОПЦЕУФЧП $\R^N$. еЗП
\tit{ЧОХФТЕООПУФША} $\overset{\circ}E$ ОБЪЩЧБАФ НОПЦЕУФЧП ЧУЕИ
ЕЗП ЧОХФТЕООЙИ ФПЮЕЛ
\[
\overset{\circ}E=\big\{x\in E:\exists\delta>0
\quad U_{\delta}(x)\subset E\big\}.
\]
\end{itemize}
пЮЕЧЙДОП, НОПЦЕУФЧП ПФЛТЩФП ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ,
ЛПЗДБ УПЧРБДБЕФ УП УЧПЕК ЧОХФТЕООПУФША.
\teo{ъБДБЮБ.} йУИПДС ЙЪ ПРТЕДЕМЕОЙК ДПЛБЦЙФЕ, ЮФП Ч РТПУФТБОУФЧЕ
\(\R^N\) МАВПЕ ЛПОЕЮОПЕ НОПЦЕУФЧП ЪБНЛОХФП Й
ЙНЕЕФ РХУФХА ЧОХФТЕООПУФШ.
\begin{itemize}
\item \tit{ъБНЩЛБОЙЕН} РТПЙЪЧПМШОПЗП НОПЦЕУФЧБ $E$ ОБЪЩЧБЕФУС
НОПЦЕУФЧП $\overline E=E\cup E'$, ЗДЕ $E'$~--- УПЧПЛХРОПУФШ ЧУЕИ
РТЕДЕМШОЩИ ФПЮЕЛ НОПЦЕУФЧБ $E$.
\item нОПЦЕУФЧП $E'$ ЧУЕИ РТЕДЕМШОЩИ ФПЮЕЛ НОПЦЕУФЧБ $E$
ОБЪЩЧБАФ \tit{РТПЙЪЧПДОЩН НОПЦЕУФЧПН} НОПЦЕУФЧБ $E$.
нОПЦЕУФЧП ЪБНЛОХФП ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ УПЧРБДБЕФ
УП УЧПЙН ЪБНЩЛБОЙЕН.
\item зТБОЙГЕК \(\D E\) РТПЙЪЧПМШОПЗП НОПЦЕУФЧБ $E$ ОБЪЩЧБАФ ТБЪОПУФШ
НЕЦДХ ЕЗП ЪБНЩЛБОЙЕН Й ЧОХФТЕООПУФША:
\[
\D E\bydef \overline E-\overset{\circ}E.
\]
фПЮЛБ \(x\) РТЙОБДМЕЦЙФ ЗТБОЙГЕ НОПЦЕУФЧБ \(E\) ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ,
ЛПЗДБ МАВБС ЕЈ ПЛТЕУФОПУФШ УПДЕТЦЙФ ФПЮЛЙ ЛБЛ РТЙОБДМЕЦБЭЙЕ \(E\),
ФБЛ Й ОЕ РТЙОБДМЕЦБЭЙЕ.
\end{itemize}
зТБОЙГБ <<ИПТПЫЙИ>> НОПЦЕУФЧ УПЧРБДБЕФ У ОБЫЙН ЙОФХЙФЙЧОЩН
РТЕДУФБЧМЕОЙЕН П ЗТБОЙГЕ, ЛБЛ НОПЦЕУФЧЕ, ПФДЕМСАЭЕН ПДОХ ПВМБУФШ
ПФ ДТХЗПК. оБРТЙНЕТ, МЕЗЛП РПЛБЪБФШ, ЮФП ЗТБОЙГЕК ЫБТБ
СЧМСЕФУС ПЗТБОЙЮЙЧБАЭБС ЕЗП УЖЕТБ. фЕН ОЕ НЕОЕЕ ЙНЕАФУС НОПЦЕУФЧБ,
ЗТБОЙГБ ЛПФПТЩИ, ОБРТЙНЕТ, <<ВПМШЫЕ>> УБНПЗП НОПЦЕУФЧБ: РХУФШ $E$ ФПЮЛЙ
$(x,y)$ ЕДЙОЙЮОПЗП ЛЧБДТБФБ, Х ЛПФПТЩИ ЛППТДЙОБФЩ $x$ Й $y$ ТБГЙПОБМШОЩ.
\[
E=\big\{(x,y):0\leq x\leq1,0\leq y\leq 1, x\in\Q, y\in\Q\big\}.
\]
\teo{ъБДБЮБ.} дПЛБЦЙФЕ, ЮФП
1) $\overline E=\big\{(x,y):0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1$
(Ф.~Е. ЪБНЩЛБОЙЕ $E$ УПЧРБДБЕФ У ЕДЙОЙЮОЩН ЛЧБДТБФПН);
2) $\overset{\circ}E=\Empty$ (Ф.~Е. $E$ ЙНЕЕФ РХУФХА ЧОХФТЕООПУФШ);
пФУАДБ УМЕДХЕФ, ЮФП ЗТБОЙГБ $\D E$ УПЧРБДБЕФ У ЕДЙОЙЮОЩН ЛЧБДТБФПН Й РПЬФПНХ
УФТПЗП УПДЕТЦЙФ Ч УЕВЕ НОПЦЕУФЧП $E$.
\teo{фЕПТЕНБ.} \begin{itshape}
уРТБЧЕДМЙЧЩ УМЕДХАЭЙЕ ДЧБ ХФЧЕТЦДЕОЙС:
\begin{itemize}
\item[$1)$] нОПЦЕУФЧП ПФЛТЩФП ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ
ЕЗП ДПРПМОЕОЙЕ ЪБНЛОХФП.
\item[$2)$] нОПЦЕУФЧП ЪБНЛОХФП ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ,
ЛПЗДБ ЕЗП ДПРПМОЕОЙЕ ПФЛТЩФП.
\end{itemize}
\end{itshape}
д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П. рХУФШ $F$~--- ЪБНЛОХФП. уППФОПЫЕОЙЕ \linebreak
$x\in F^c$ c ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ФПЮЛБ $x$ ОЕ РТЙОБДМЕЦЙФ ЪБНЛОХФПНХ НОПЦЕУФЧХ
$F$, РПЬФПНХ ОЕ СЧМСЕФУС ДМС ОЕЗП РТЕДЕМШОПК. ъОБЮЙФ, ЙНЕЕФУС
ПЛТЕУФОПУФШ $U_{\delta}(x)$ ОЕ РЕТЕУЕЛБАЭБСУС У $F$, Б РПФПНХ УПДЕТЦБЭБСУС
Ч $F^c$. ф.~Е. $x$ РТЙОБДМЕЦЙФ $F$ c ЧНЕУФЕ У ПЛТЕУФОПУФША $U_{\delta}(x)$.
нЩ РПЛБЪБМЙ, ЮФП МАВБС ФПЮЛБ $x\in F^c$~--- ЧОХФТЕООСС, ЪОБЮЙФ,
$F^c$~--- ПФЛТЩФП.
рХУФШ $G$~--- ПФЛТЩФП Й ФПЮЛБ $x$~--- РТЕДЕМШОБС ДМС $G^c$. фПЗДБ
$x\ne G$, ЙОБЮЕ ПОБ РТЙОБДМЕЦБМБ ВЩ $G$ ЧНЕУФЕ У ОЕЛПФПТПК ПЛТЕУФОПУФША
Й ЬФБ ПЛТЕУФОПУФШ ОЕ РЕТЕУЕЛБМБУШ ВЩ У $G^c$, ЮФП РТПФЙЧПТЕЮЙФ ФПНХ,
ЮФП $x$ РТЕДЕМШОБС ДМС $G^c$. ъОБЮЙФ, $x\in G^c$ Й $G^c$ УПДЕТЦЙФ
ЧУЕ УЧПЙ РТЕДЕМШОЩЕ ФПЮЛЙ.
юФП Й ФТЕВПЧБМПУШ ДПЛБЪБФШ.
\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} \tit{оЕРТЕТЩЧОПЕ} ПФПВТБЦЕОЙЕ ПФТЕЪЛБ
$[\alpha;\beta]\subset\R$
Ч РТПУФТБОУФЧП $\R^N$, ЪБДБЧБЕНПЕ УППФОПЫЕОЙЕН
\(\gamma: t\mapsto\big(x^1(t),\dots,x^N(t)\big)\)
Ч ДБМШОЕКЫЕН НЩ ВХДЕН ОБЪЩЧБФШ \tit{РХФЈН} Ч $\R^N$ ЙМЙ, ВПМЕЕ ДМЙООП,
РБТБНЕФТЙЪПЧБООПК ЛТЙЧПК.
оБРПНОЙН, ЮФП ОЕРТЕТЩЧОПУФШ ПФПВТБЦЕОЙС \(\gamma\) ПЪОБЮБЕФ, ЮФП
ЪБДБАЭЙЕ ЕЗП <<ЛППТДЙОБФОЩЕ ЖХОЛГЙЙ>> $t\mapsto x^k(t)$:
\[
\gamma:\begin{cases}x^1=x^1(t)&\\ \dots& t\in[\alpha;\beta],\\
x^N=x^N(t)&\end{cases}
\]
ОЕРТЕТЩЧОЩ ОБ ПФТЕЪЛЕ $[\alpha;\beta]$ ДМС МАВПЗП $k=1,2,\dots,N$.
еУМЙ РТЙ МАВПН $t\in [\alpha;\beta]$ ФПЮЛБ
$\gamma(t)=\big(x^1(t),\dots,x^N(t)\big)$ МЕЦЙФ Ч НОПЦЕУФЧЕ
$D\subset\R^N$, ЗПЧПТСФ, ЮФП \tit{РХФШ МЕЦЙФ Ч} $D$.
еУМЙ
\begin{align*}
\gamma(\alpha)&=\big(x^1(\alpha),\dots,x^N(\alpha)\big)=a=(a^1,\dots,a^N),\\
\gamma(\beta)&=\big(x^1(\beta),\dots,x^N(\beta)\big)=b=(b^1,\dots,b^N),
\end{align*}
ФП ЗПЧПТСФ, ЮФП \tit{РХФШ УПЕДЙОСЕФ} ФПЮЛЙ $a$ Й $b$.
\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} зПЧПТСФ, ЮФП НОПЦЕУФЧП $D$ \tit{МЙОЕКОП УЧСЪОП},
ЕУМЙ МАВЩЕ ЕЗП ДЧЕ ФПЮЛЙ НПЦОП УПЕДЙОЙФШ РХФЈН МЕЦБЭЙН Ч $D$.
уМЕЧБ ОБ ЛБТФЙОЛЕ НОПЦЕУФЧП $D$~--- МЙОЕКОП УЧСЪОП, УРТБЧБ НОПЦЕУФЧП
$E$~--- ОЕФ.
\centerline{\includegraphics{topology.5}}
уМЕДХАЭЕЕ РПОСФЙЕ СЧМСЕФУС ПДОЙН ЙЪ ОБЙВПМЕЕ ХРПФТЕВЙНЩИ
РТБЛФЙЮЕУЛЙ ЧП ЧУЕК НБФЕНБФЙЛЕ, Б ОЕ ФПМШЛП Ч НБФЕНБФЙЮЕУЛПН БОБМЙЪЕ.
\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} нОПЦЕУФЧП ОБЪЩЧБЕФУС \tit{ПВМБУФША},
ЕУМЙ ПОП \tit{ПФЛТЩФП} Й \tit{МЙОЕКОП УЧСЪОП}.
оБ ТЙУХОЛБИ ОЙЦЕ ЙЪПВТБЦЕОЩ РТЙНЕТЩ ФТЈИ ПВМБУФЕК ОБ РМПУЛПУФЙ.
\begin{center}
\includegraphics{topology.8}
\includegraphics{topology.6}
\includegraphics{topology.7}
\end{center}
рЕТЧБС ЙЪ ОЙИ \(D_1\) ОБЙВПМЕЕ РТПУФБ. фБЛЙЕ ПВМБУФЙ ОБЪЩЧБАФ
\tit{ПДОПУЧСЪОЩНЙ}, ФБЛ ЛБЛ ЗТБОЙГБ ЕЈ УПУФПЙФ ЙЪ ПДОПК УЧСЪОПК
ЪБНЛОХФПК МЙОЙЙ. чФПТБС ПВМБУФШ \(D_2\) ЙНЕЕФ <<ДЩТЩ>>. еЈ ЗТБОЙГБ
УПУФПЙФ ЙЪ ЗТБОЙГ РСФЙ <<ДЩТ>> Й ЛТЙЧПК, СЧМСАЭЕКУС <<ЧОЕЫОЕК>>
ЗТБОЙГЕК. ф.~Е. \tit{ЧУС} ЗТБОЙГБ УПУФПЙФ ЙЪ ЫЕУФЙ \tit{ПФДЕМШОЩИ} УЧСЪОЩИ
НОПЦЕУФЧ. рПЬФПНХ ЬФХ ПВМБУФШ ОБДП ОБЪЩЧБФШ \tit{ЫЕУФЙУЧСЪОПК}. рТЙНЕТПН
\tit{ВЕУЛПОЕЮОПУЧСЪОПК} ПВМБУФЙ СЧМСЕФУС ПВМБУФШ \(D_3\). пОБ
РПУФТПЕОБ ФБЛ: ЙЪ УЕТЕДЙОЩ ЪБЛТБЫЕООПЗП РТСНПХЗПМШОЙЛБ ЙЪЯСМЙ ЧЕТФЙЛБМШОЩК
РТСНПХЗПМШОЙЛ ЫЙТЙОЩ \(\eps>0\) (ОБ ЛБТФЙОЛЕ УБНБС ФПМУФБС ВЕМБС МЙОЙС).
ъБФЕН, ОБ ТБУУФПСОЙЙ $\frac12$ ЧМЕЧП ПФ ОЕЗП ЙЪЯСМЙ РТСНПХЗПМШОЙЛ ЫЙТЙОЩ
\(\frac{\eps}2\). уМЕДХАЭЙК РТСНПХЗПМШОЙЛ ЫЙТЙОЩ $\frac{\eps}{2^2}$
ЙЪЩНБЕФУС ОБ ТБУУФПСОЙЙ $\frac23$, РПФПН ЫЙТЙОЩ $\frac{\eps}{2^3}$
ОБ ТБУУФПСОЙЙ \(\frac34\)\dots. ч ТЕЪХМШФБФЕ ЙЪ РТСНПХЗПМШОЙЛБ
ЙЪЩНБЕФУС ВЕУЛПОЕЮОПЕ НОПЦЕУФЧП ХФПОШЫБАЭЙИУС РТСНПХЗПМШОЙЛПЧ.
зТБОЙГБ РПМХЮЕООПЗП НОПЦЕУФЧБ УПДЕТЦЙФ ЗТБОЙГЩ ЧУЕИ РТСНПХЗПМШОЙЛПЧ,
Ф.~Е. УПУФПЙФ ЙЪ ВЕУЛПОЕЮОПЗП НОПЦЕУФЧБ <<ЛПНРПОЕОФ>> (УЧСЪОЩИ ЛХУЛПЧ).
ч ДБМШОЕКЫЕН НЩ ВХДЕН ТБУУНБФТЙЧБФШ ЖХОЛГЙЙ, ПРТЕДЕМЈООЩЕ,
ЛБЛ РТБЧЙМП, Ч ПВМБУФЙ.
йОПЗДБ ЕЭЈ ЙУРПМШЪХЕФУС ФЕТНЙО <<ЪБНЛОХФБС ПВМБУФШ>>. ьФП НОПЦЕУФЧП,
РПМХЮЕООПЕ ЪБНЩЛБОЙЕН ПВМБУФЙ. йОЩНЙ УМПЧБНЙ, ЬФП ПВЯЕДЙОЕОЙЕ ПВМБУФЙ
Й ЕЈ ЗТБОЙГЩ. дБМЕЛП ОЕ МАВПЕ ЪБНЛОХФПЕ НОПЦЕУФЧП НПЦОП РПМХЮЙФШ
ФБЛЙН ПВТБЪПН. рПЬФПНХ ФЕТНЙО <<ЪБНЛОХФБС ПВМБУФШ>> ЧПЧУЕ ОЕ
СЧМСЕФУС УЙОПОЙНПН ФЕТНЙОБ <<ЪБНЛОХФПЕ НОПЦЕУФЧП>>. рТЙНЕТЩ ЪБНЛОХФЩИ
НОПЦЕУФЧ, ОЕ СЧМСАЭЙИУС ЪБНЛОХФЩНЙ ПВМБУФСНЙ, РТЙДХНБКФЕ УБНПУФПСФЕМШОП
Ч ЛБЮЕУФЧЕ ХРТБЦОЕОЙС.
\subsection*{жХОЛГЙЙ НОПЗЙИ РЕТЕНЕООЩИ}
\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} жХОЛГЙЕК $N$ РЕТЕНЕООЩИ \((x^1,\dots,x^N)\) ОБЪЩЧБАФ
ЖХОЛГЙА, $f:D\to\R$ ЪБДБООХА Ч ОЕЛПФПТПК \tit{ПВМБУФЙ} $D\in\R^N$
(УН. ПВЭЕЕ ПРТЕДЕМЕОЙЕ ЖХОЛГЙЙ ЧП <<чЧЕДЕОЙЙ Ч БОБМЙЪ>>).
оБ ЙОФХЙФЙЧОПН ХТПЧОЕ НПЦОП УЛБЪБФШ, ЮФП ЖХОЛГЙС $N$ РЕТЕНЕООЩИ
$f$, ПРТЕДЕМЈООБС Ч ПВМБУФЙ $D\subset\R^N$, ЬФП РТБЧЙМП, УПРПУФБЧМСАЭЕЕ
ЛБЦДПК ФПЮЛЕ $x{=}(x^1,\dots,x^N){\in} D$ ОЕЛПФПТПЕ ЮЙУМП
$f(x)=f(x^1,\dots,x^N)$.
пЮЕЧЙДОП, ЗТБЖЙЛ ЖХОЛГЙЙ $N$ РЕТЕНЕООЩИ СЧМСЕФУС РПДНОПЦЕУФЧПН Ч
$\R^{N+1}=\R^N\times\R$, РПЬФПНХ ЙЪПВТБЪЙФШ ЕЗП ОБ ТЙУХОЛЕ
ХДБЈФУС ФПМШЛП ДМС ЖХОЛГЙК ПДОПК Й ДЧХИ РЕТЕНЕООЩИ.
\begin{center}
\includegraphics{cos_xy.1}
\end{center}
еУМЙ РЕТЕНЕООЩИ ДЧЕ ЙМЙ ФТЙ, ФП РТЕДУФБЧЙФШ УЕВЕ РПЧЕДЕОЙЕ
ЖХОЛГЙЙ НПЦОП ЙЪПВТБЦБС НОПЦЕУФЧБ ХТПЧОС $\ell_C(f)=\{x:f(x)=C\}$.
ьФПФ НЕФПД ПВЭЕРТЙОСФ Ч ЛБТФПЗТБЖЙЙ, ЗДЕ ОБ ЛБТФБИ ЙЪПВТБЦБАФ
МЙОЙЙ ХТПЧОС ФБЛЙИ ЖХОЛГЙК, ЛБЛ
$z=$<<ЧЩУПФБ Ч ФПЮЛЕ $(x,y)$ ОБД ХТПЧОЕН НПТС>>,
\(z=\)<<УТЕДОСС ФЕНРЕТБФХТБ Ч ФПЮЛЕ $(x,y)$>> (ЙЪПФЕТНЩ),
$z=$<<УТЕДОЕЕ ДБЧМЕОЙЕ Ч ФПЮЛЕ $(x,y)$>> (ЙЪПВБТЩ).
ч УМХЮБЕ, ЛПЗДБ РЕТЕНЕООЩИ ВПМШЫЕ ФТЕИ, ОБЗМСДОПЕ РТЕДУФБЧМЕОЙЕ
П ЗТБЖЙЛЕ ЖХОЛГЙЙ НПЦОП РПМХЮЙФШ УФТПС ТБЪМЙЮОЩЕ
ДЧХНЕТОЩЕ УЕЮЕОЙС ЬФПЗП ЗТБЖЙЛБ.
\end{document}