Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

lec_2sem / lec18 / lec18

.tex
Скачиваний:
6
Добавлен:
25.04.2015
Размер:
16.61 Кб
Скачать
\documentclass[twoside]{article}
\usepackage{$HOME/sty/lec}

\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\tsc{а.б.~лМЕЧЮЙИЙО}}\\[.5cm]
\rule{9.7cm}{.3pt}
\vskip-9pt
\rule{9.7cm}{1pt}

\vskip 1cm

%{\LARGE\tbf{}}\\[2mm]
{\LARGE\tbf{нБФЕНБФЙЮЕУЛЙК БОБМЙЪ Ч $\R^N$}}\\[5mm]
{\Large\ttt{МЕЛГЙС 18 (12.04.2007)}}\\[5mm]
{\Large\ttt{пУОПЧОЩЕ ФПРПМПЗЙЮЕУЛЙЕ РПОСФЙС Ч $\R^N$}}\\ 

\vfil
 
{\ovalbox{\hskip-4pt\rule[-10pt]{0pt}{27pt}
\Large$\frac{\D f}{\D x}$\hskip-.5pt}}
\vfil

\large ч М Б Д Й Ч П У Ф П Л\\
2007
\end{center}
\pagebreak

\pagestyle{headings}
\markboth{\hrulefill
лМЕЧЮЙИЙО а.б
}{пУОПЧОЩЕ ФПРПМПЗЙЮЕУЛЙЕ РПОСФЙС Ч $\R^N$\hrulefill}


\section*{мЕЛГЙС 18} 

\subsection*{уИПДЙНПУФШ Ч $\R^N$} 

чУАДХ Ч ДБМШОЕКЫЕН
НЩ ВХДЕН УЮЙФБФШ РТПУФТБОУФЧП $R^N$ ОБДЕМЈООЩН ОПТНПК 
\[
\|x\|=\sqrt{\sum_{k=1}^N|x^k|^2}=
\sqrt{|x^1|^2+|x^2|^2+\dots+|x^N|^2},
\]

\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.}  пФЛТЩФЩН ЫБТПН ТБДЙХУБ $\eps$ У ГЕОФТПН Ч ФПЮЛЕ
$x_0=(x_0^1,\dots,x_0^N)$ ЙМЙ $\eps$-ПЛТЕУФОПУФША ФПЮЛЙ $x_0$ 
ОБЪЩЧБАФ НОПЦЕУФЧП 
\[
U_{\eps}(x_0)=\{x\in\R^N:\|x-x_0\|<\eps\}.
\]
УМХЮБЕ $N=2$, $U_{\eps}(x_0)$~--- ЬФП ЛТХЗ ТБДЙХУБ $\eps$ У ГЕОФТПН 
Ч ФПЮЛЕ $x_0$. ч УМХЮБЕ $N = 3$, $U_{\eps}(x_0)$~--- ЬФП ПВЩЮОЩК 
ЫБТ ТБДЙХУБ $\eps$ У ГЕОФТПН Ч $x_0$.
  
рХУФШ $(x_n)_{n\in\N}$~--- РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ ФПЮЕЛ ЙЪ РТПУФТБОУФЧБ 
$\R^N$,\linebreak 
$x_n=(x_n^1,x_n^2\dots,x_n^N)$.  

\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} зПЧПТСФ, ЮФП РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ $(x_n)_{n\in\N}$
\tit{ЙНЕЕФ РТЕДЕМПН ФПЮЛХ} $x_0=(x_0^1,\dots,x_0^N)\in\R^N$, ЕУМЙ 
ЧЩРПМОСЕФУС ХУМПЧЙЕ: 
\[
\forall\eps>0\ \exists n_0\ \forall n>n_0\Rightarrow \|x_n-x_0\|<\eps.
\]
ч ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛЙИ ФЕТНЙОБИ ЬФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ЛБЛХА ВЩ ПЛТЕУФОПУФШ 
$U_{\eps}(x_0)$ ФПЮЛЙ $x_0$ НЩ ОЙ ЧЪСМЙ, ОБЮЙОБС У ОЕЛПФПТПЗП ОПНЕТБ 
$n_0$ (ЪБЧЙУСЭЕЗП ПФ $\eps$) ЧУЕ ЮМЕОЩ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ РПРБДБАФ 
Ч ЬФХ ПЛТЕУФОПУФШ: 
\[
\forall U_{\eps}(x_0)\ \exists n_0\ \forall n>n_0\Rightarrow x_n\in
U_{\eps}(x_0).
\]

зПЧПТСФ, ЮФП РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ ЧЕЛФПТПЧ $(x_n)_{n\in\N}$ \tit{ЙНЕЕФ РТЕДЕМПН 
ВЕУЛПОЕЮОПУФШ} (РЙЫХФ $x_n\to\infty$), ЕУМЙ ЮЙУМПЧБС РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ 
\(\|x_n\|\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty\).  ч ФЕТНЙОБИ ОЕТБЧЕОУФЧ 
ЬФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП 
\[
\forall E>0\ \exists n_0\ \forall n>n_0\Rightarrow \|x_n\|>E.
\] 

зПЧПТСФ, ЮФП РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ $(x_n)_{n\in\N}$ \tit{УИПДЙФУС}, ЕУМЙ ПОБ 
ЙНЕЕФ ЛПОЕЮОЩК РТЕДЕМ.  

уМЕДХАЭБС ФЕПТЕНБ РПЪЧПМСЕФ УЧЕУФЙ ЙУУМЕДПЧБОЙЕ ОБ УИПДЙНПУФШ 
РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ ЧЕЛФПТПЧ ЙЪ $\R^N$ Л ЙУУМЕДПЧБОЙА ОБ УИПДЙНПУФШ 
$N$ ПВЩЮОЩИ ЮЙУМПЧЩИ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЕК.

\teo{фЕПТЕНБ} (П РПЛППТДЙОБФОПК УИПДЙНПУФЙ Ч РТПУФТБОУФЧЕ $\R^N$). \\
\begin{itshape} 
рХУФШ $x_n=(x_n^1,x_n^2,\dots,x_n^N)$~--- РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ 
ЧЕЛФПТПЧ ЙЪ $\R^N$. ьФБ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ УИПДЙФУС ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, 
ЛПЗДБ ДМС МАВПЗП $k=1,2,\dots,N$ УИПДСФУС ЮЙУМПЧЩЕ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ 
$(x_n^k)_{n\in\N}$.
\end{itshape}

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П.  $(\Rightarrow)$ рХУФШ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ 
$(x_n)$ УИПДЙФУС Й $x_0$~--- ЕЈ РТЕДЕМ.  чЪСЧ РТПЙЪЧПМШОПЕ $\eps>0$, 
ОБКДЈН ФБЛПЕ $n_0$, ЮФПВЩ РТЙ $n>n_0$ ЧЩРПМОСМПУШ ОЕТБЧЕОУФЧП 
$\|x_n-x_0\|<\eps$.  оП ФПЗДБ РТЙ МАВПН $k=1,2,\dots,N$
\[
|x_n^k-x_0^k|<\sqrt{|x_n^1-x_0^1|+\dots+|x_n^k-x_0^k|+\dots+|x_n^N-x_0^N|}=
\|x_n-x_0\|<\eps,
\]
ЪОБЮЙФ, $(x_n^k)$ УИПДЙФУС Л \(x_0^k\).  

($\Leftarrow$) рХУФШ РТЙ МАВПН $k=1,2,\dots,N$ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ 
$(x^k_n)$ УИПДСФУС. рПМПЦЙН $\Lim_{n\to\infty}x_n^k=x_0^k$ Й РПЛБЦЕН, 
ЮФП РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ ЧЕЛФПТПЧ $(x_n)$ УИПДЙФУС Л ЧЕЛФПТХ 
$x_0=(x_0^1,\dots,x_0^N)$.  дМС ЬФПЗП РП РТПЙЪЧПМШОПНХ $\eps>0$ 
РПДВЕТЈН ФБЛПЕ $n_0$, ЮФПВЩ РТЙ ЧУЕИ $k=1,2,\dots,N$ ЧЩРПМОСМЙУШ 
ОЕТБЧЕОУФЧБ $|x_n^k-x_0^k|<\frac{\eps}{\sqrt N}$.  фПЗДБ 
\[
\|x_n-x_0\|=\sqrt{\sum_{k=1}^N|x_n^k-x_0^k|^2}<
\sqrt{\sum_{k=1}^N\Big(\tfrac{\eps}{\sqrt N}\Big)^2}=\eps.
\]
юФП Й ФТЕВПЧБМПУШ ДПЛБЪБФШ.  

\teo{ъБНЕЮБОЙЕ.}  ч УЙМХ РПУМЕДОЕК ФЕПТЕНЩ
ЙОПЗДБ ЗПЧПТСФ, ЮФП Ч РТПУФТБОУФЧЕ $\R^N$ УИПДЙНПУФШ РПЛППТДЙОБФОБС~---
ДМС УИПДЙНПУФЙ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ ЧЕЛФПТПЧ ОЕПВИПДЙНП Й ДПУФБФПЮОП,
ЮФПВЩ УИПДЙМЙУШ ЧУЕ <<ЛППТДЙОБФОЩЕ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ>>.  

\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} рПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ $(x_n)_{n\in\N}$ ЧЕЛФПТПЧ ЙЪ 
$\R^N$, \linebreak
$x_n=(x_n^1,x_n^2,\dots,x_n^N)$, ОБЪЩЧБАФ \tit{ЖХОДБНЕОФБМШОПК} 
РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФША ЙМЙ \tit{РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФША лПЫЙ}, ЕУМЙ ПОБ 
ПВМБДБЕФ УМЕДХАЭЙН УЧПКУФЧПН: 
\[
\forall\eps>0\ \exists n_0\ \forall m,n>n_0\ \Rightarrow\|x_n-x_m\|<\eps
\]
ЙМЙ, ЮФП ФП ЦЕ УБНПЕ,
\[
\forall\eps>0\ \exists n_0\ \forall n>n_0\ \forall p\geq 1
\Rightarrow\|x_n-x_{n+p}\|<\eps. 
\]


\teo{фЕПТЕНБ} (ЛТЙФЕТЙК лПЫЙ). \begin{itshape}
дМС ФПЗП ЮФПВЩ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ $(x_n)_{n\in\N}$ УИПДЙМБУШ Ч $\R^N$, 
ОЕПВИПДЙНП Й ДПУФБФПЮОП, ЮФПВЩ ПОБ ВЩМБ ЖХОДБНЕОФБМШОПК.  
\end{itshape}


д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П.  $(\Rightarrow)$ 
рХУФШ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ $(x_n)_{n\in\N}$ УИПДЙФУС Ч $\R^N$ Л
ЬМЕНЕОФХ $x_0$.  дМС РТПЙЪЧПМШОПЗП $\eps>0$ ОБКДЈН ФБЛПЕ $n_0$, 
ЮФПВЩ РТЙ ЧУЕИ $n>n_0$ ЧЩРПМОСМПУШ ОЕТБЧЕОУФЧП $\|x_n-x_0\|<\frac{\eps}2$, 
ФПЗДБ ДМС МАВЩИ $m>n_0$
\[
\|x_n-x_m\|=\big\|(x_n-x_0)+(x_0-x_m)\big\|\leq
\|x_n-x_0\|+\|x_0-x_m\|<\frac{\eps}2+\frac{\eps}2=\eps.
\]
й ОЕПВИПДЙНПУФШ ДПЛБЪБОБ.  

$(\Leftarrow)$ рХУФШ $(x_n)_{n\in\N}$  ЖХОДБНЕОФБМШОБ.
ч УЙМХ ОЕТБЧЕОУФЧБ 
\[
|x_n^k-x_0^k|\leq\sqrt{\sum_{k=1}^N|x_n^k-x_0^k|^2}=\|x_n-x_m\|
\]
РТЙ МАВПН $k=1,2,\dots,N$ <<ЛППТДЙОБФОЩЕ>> РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ
$(x_n^k)_{n\in\N}$ СЧМСАФУС ЖХОДБНЕОФБМШОЩНЙ, РПЬФПНХ УИПДСФУС.  
пВПЪОБЮЙН $\Lim_{n\to\infty}x_n^k=x_0^k$.  оП ФПЗДБ РП РТЕДЩДХЭЕК 
ФЕПТЕНЕ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ $(x_n)$ УИПДЙФУС Л ЬМЕНЕОФХ 
$x_0=(x_0^1,x_0^2,\dots,x_0^N)$.

юФП Й ФТЕВПЧБМПУШ ДПЛБЪБФШ.  


\subsection*{пУОПЧОЩЕ ФПРПМПЗЙЮЕУЛЙЕ РПОСФЙС}

лТПНЕ УИПДЙНПУФЙ УМЕДХАЭЙЕ ОЙЦЕ РПОСФЙС СЧМСАФУС ПУОПЧОЩНЙ Ч ФПРПМПЗЙЙ Й
ВХДХФ РПУФПСООП ХРПФТЕВМСФШУС ОБНЙ Ч ДБМШОЕКЫЕН.  

лБЛ НЩ ХЦЕ ЗПЧПТЙМЙ, $\eps$-ПЛТЕУФОПУФША ФПЮЛЙ $x$ НЩ ВХДЕН ОБЪЩЧБФШ 
НОПЦЕУФЧП $U_{\eps}(x_0)=\{x:\|x-x_0\|<\eps\}$.  лТПНЕ ФПЗП, 
\tit{РТПЛПМПФПК \linebreak
$\delta$-ПЛТЕУФОПУФША} $\overset{\circ}U_{\delta}(x_0)$ 
ОБЪЩЧБАФ НОПЦЕУФЧП 
\[
\overset{\circ}U_{\delta}(x_0)=\{x:0<\|x-x_0\|<\delta\}=
U_{\delta}(x_0)-\{x_0\}.
\]

\begin{itemize}
\item фПЮЛБ $x$ ОБЪЩЧБЕФУС \tit{ЧОХФТЕООЕК ФПЮЛПК} НОПЦЕУФЧБ $E$, ЕУМЙ 
РТЙОБДМЕЦЙФ ЬФПНХ НОПЦЕУФЧХ ЧНЕУФЕ У ОЕЛПФПТПК ПЛТЕУФОПУФША: 
\[
x\text{ --- ЧОХФТЕООСС ДМС } E\bydef 
\exists\delta>0: U_{\delta}(x)\subset E. 
\]
\end{itemize}

\begin{wrapfigure}[6]{l}{3cm}
\vskip -24pt
\includegraphics{topology.2}
\end{wrapfigure}

оБРТЙНЕТ, Ч ЛТХЗЕ $\overline U_1(\theta)$, ЕУМЙ ТБУУФПСОЙЕ ПФ ФПЮЛЙ 
$x$ ДП ОХМС $\theta=(0,0,\dots,0)$ \tit{УФТПЗП НЕОШЫЕ} $1$, Ф.~Е. 
$\|x\|<1$, ФП ФПЮЛБ $x$~--- ЧОХФТЕООСС (УН.  ТЙУ.).  еУМЙ ЦЕ 
$\|x\|=1$, ФП ФБЛБС ФПЮЛБ, ПЮЕЧЙДОП, ОЕ СЧМСЕФУС ЧОХФТЕООЕК, Ф.~Л. 
МАВБС ЕЈ ПЛТЕУФОПУФШ УПДЕТЦЙФ ФПЮЛЙ ОЕ РТЙОБДМЕЦБЭЙЕ ЛТХЗХ (ОЕ ЪБЛТБЫЕОЩ).
ьФП, ФБЛ ОБЪЩЧБЕНБС, \tit{ЗТБОЙЮОБС ФПЮЛБ} (ФПЮОПЕ ПРТЕДЕМЕОЙЕ: МАВБС
ПЛТЕУФОПУФШ УПДЕТЦЙФ ЛБЛ РТЙОБДМЕЦБЭЙЕ, ФБЛ Й ОЕ РТЙОБДМЕЦБЭЙЕ
НОПЦЕУФЧХ ФПЮЛЙ).

\begin{itemize}
\item нОПЦЕУФЧП $G$ ОБЪЩЧБЕФУС \tit{ПФЛТЩФЩН}, ЕУМЙ ПОП УПУФПЙФ 
ФПМШЛП ЙЪ ЧОХФТЕООЙИ ФПЮЕЛ: 
\[
G \text{ --- ПФЛТЩФП }\bydef \forall x\in G\ \exists\delta>0:
U_{\delta}(x)\subset G. 
\]
\end{itemize}

нОПЦЕУФЧП $\overline U_1(\theta)=\big\{x:\|x\|=\sqrt{|x^1|^2+
\dots+|x^N|^2}\leq 1\big\}$ ОЕ СЧМСЕФУС ПФЛТЩФЩН, РПУЛПМШЛХ, ЛБЛ
НЩ ЧЙДЕМЙ Ч РТЕДЩДХЭЕН РТЙНЕТЕ, ПОП ЙНЕЕФ\linebreak 

\begin{wrapfigure}{l}{3cm}
\vskip -6pt
\includegraphics{topology.3}
\end{wrapfigure}

\vskip -10pt
\noindent 
ФПЮЛЙ ОЕ СЧМСАЭЙЕУС ЧОХФТЕООЙНЙ,
Б ЙНЕООП, ЬФП ФПЮЛЙ, ТБУУФПСОЙЕ ПФ ЛПФПТЩИ ДП ОХМС Ч ФПЮОПУФЙ ТБЧОП $1$.

оБРТПФЙЧ, НОПЦЕУФЧП $U_r(x_0){=}\big\{x:\|x{-}x_0\|{<}r\}$~--- ПФЛТЩФП.
еУМЙ ФПЮЛБ $x$ РТЙОБДМЕЦЙФ $U_r(x_0)$, ФП ТБУУФПСОЙЕ ПФ ОЕЈ ДП ФПЮЛЙ
$x_0$ УФТПЗП НЕОШЫЕ $r$ Й, ЧЪСЧ $\delta=r-\|x-x_0\|>0$, МЕЗЛП ЧЙДЕФШ, ЮФП 
$U_{\delta}(x)\subset U_r(x_0)$ (УН. ЛБТФЙОЛХ). 
\begin{itemize}
\item фПЮЛБ $x$ ОБЪЩЧБЕФУС \tit{РТЕДЕМШОПК ФПЮЛПК} НОПЦЕУФЧБ $E$, 
ЕУМЙ МАВБС ЕЈ РТПЛПМПФБС ПЛТЕУФОПУФШ $\overset{\circ}U_{\delta}(x)$ 
ЙНЕЕФ ОЕРХУФПЕ РЕТЕУЕЮЕОЙЕ У НОПЦЕУФЧПН $E$: 
\[
x\text{ --- РТЕДЕМШОБС ФПЮЛБ } E\bydef\forall\delta>0\quad
\overset{\circ}U_{\delta}(x)\cap E\ne\Empty.  
\]
\end{itemize}
рТЕДЕМШОБС ФПЮЛБ НОПЦЕУФЧБ $E$ ОЕ ПВСЪБОБ РТЙОБДМЕЦБФШ
ЬФПНХ НОПЦЕУФЧХ, ОБРТЙНЕТ, ДМС НОПЦЕУФЧБ 
$U_r(x)=\{x\in\R^N:\|x-x_0\|<r\}$ ЧУЕ ФПЮЛЙ $x$, Х ЛПФПТЩИ 
$\|x-x_0\|=r$ ЕНХ ОЕ РТЙОБДМЕЦБФ, ОП СЧМСАФУС ДМС ОЕЗП РТЕДЕМШОЩНЙ.  
\begin{itemize}
\item фПЮЛЙ, РТЙОБДМЕЦБЭЙЕ НОПЦЕУФЧХ $E$, ОП ОЕ СЧМСАЭЙЕУС ДМС ОЕЗП 
РТЕДЕМШОЩНЙ, ОБЪЩЧБАФУС \tit{ЙЪПМЙТПЧБООЩНЙ ФПЮЛБНЙ} $E$.

\item нОПЦЕУФЧП $F$ ОБЪЩЧБЕФУС \tit{ЪБНЛОХФЩН}, ЕУМЙ ПОП УПДЕТЦЙФ 
ЧУЕ УЧПЙ РТЕДЕМШОЩЕ ФПЮЛЙ. 
\end{itemize}

\begin{wrapfigure}[6]{l}{3cm}
\vskip -20pt
\includegraphics{topology.4}
\end{wrapfigure}

оБРТЙНЕТ, НОПЦЕУФЧП $\overline U_r(x_0)=
\big\{x\in\R^N:\|x-x_0\|\leq r\big\}$~--- 
ЪБНЛОХФП.  еУМЙ \(x\notin\overline U_r(x_0)\), ФП ТБУУФПСОЙЕ ПФ ФПЮЛЙ 
$x$ ДП ФПЮЛЙ $x_0$ УФТПЗП ВПМШЫЕ $r$, РПЬФПНХ ЧЪСЧ $\delta=\|x-x_0\|-r$ 
ЧЙДЙН, ЮФП $U_{\delta}(x)$ ОЕ РЕТЕУЕЛБЕФУС У $\overline U_r(x_0)$ Й, 
ЪОБЮЙФ, ФПЮЛБ $x$ ОЕ НПЦЕФ ВЩФШ РТЕДЕМШОПК.

\begin{itemize}
\item рХУФШ $E$~--- РТПЙЪЧПМШОПЕ РПДНОПЦЕУФЧП $\R^N$.  еЗП 
\tit{ЧОХФТЕООПУФША} $\overset{\circ}E$ ОБЪЩЧБАФ НОПЦЕУФЧП ЧУЕИ 
ЕЗП ЧОХФТЕООЙИ ФПЮЕЛ 
\[
\overset{\circ}E=\big\{x\in E:\exists\delta>0
\quad U_{\delta}(x)\subset E\big\}.
\]
\end{itemize}
пЮЕЧЙДОП, НОПЦЕУФЧП ПФЛТЩФП ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ,
ЛПЗДБ УПЧРБДБЕФ УП УЧПЕК ЧОХФТЕООПУФША.  

\teo{ъБДБЮБ.} йУИПДС ЙЪ ПРТЕДЕМЕОЙК ДПЛБЦЙФЕ, ЮФП Ч РТПУФТБОУФЧЕ 
\(\R^N\) МАВПЕ ЛПОЕЮОПЕ НОПЦЕУФЧП ЪБНЛОХФП Й
ЙНЕЕФ РХУФХА ЧОХФТЕООПУФШ.   

\begin{itemize}
\item \tit{ъБНЩЛБОЙЕН} РТПЙЪЧПМШОПЗП НОПЦЕУФЧБ $E$ ОБЪЩЧБЕФУС
НОПЦЕУФЧП $\overline E=E\cup E'$, ЗДЕ $E'$~--- УПЧПЛХРОПУФШ ЧУЕИ 
РТЕДЕМШОЩИ ФПЮЕЛ НОПЦЕУФЧБ $E$.  

\item нОПЦЕУФЧП $E'$ ЧУЕИ РТЕДЕМШОЩИ ФПЮЕЛ НОПЦЕУФЧБ $E$ 
ОБЪЩЧБАФ \tit{РТПЙЪЧПДОЩН НОПЦЕУФЧПН} НОПЦЕУФЧБ $E$.  

нОПЦЕУФЧП ЪБНЛОХФП ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ УПЧРБДБЕФ 
УП УЧПЙН ЪБНЩЛБОЙЕН.   

\item зТБОЙГЕК \(\D E\) РТПЙЪЧПМШОПЗП НОПЦЕУФЧБ $E$ ОБЪЩЧБАФ ТБЪОПУФШ 
НЕЦДХ ЕЗП ЪБНЩЛБОЙЕН Й ЧОХФТЕООПУФША: 
\[
\D E\bydef \overline E-\overset{\circ}E.
\]
фПЮЛБ \(x\) РТЙОБДМЕЦЙФ ЗТБОЙГЕ НОПЦЕУФЧБ \(E\) ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ,
ЛПЗДБ МАВБС ЕЈ ПЛТЕУФОПУФШ УПДЕТЦЙФ ФПЮЛЙ ЛБЛ РТЙОБДМЕЦБЭЙЕ \(E\),
ФБЛ Й ОЕ РТЙОБДМЕЦБЭЙЕ.

\end{itemize}

зТБОЙГБ <<ИПТПЫЙИ>> НОПЦЕУФЧ УПЧРБДБЕФ У ОБЫЙН ЙОФХЙФЙЧОЩН 
РТЕДУФБЧМЕОЙЕН П ЗТБОЙГЕ, ЛБЛ НОПЦЕУФЧЕ, ПФДЕМСАЭЕН ПДОХ ПВМБУФШ 
ПФ ДТХЗПК.  оБРТЙНЕТ, МЕЗЛП РПЛБЪБФШ, ЮФП ЗТБОЙГЕК ЫБТБ
СЧМСЕФУС ПЗТБОЙЮЙЧБАЭБС ЕЗП УЖЕТБ.  фЕН ОЕ НЕОЕЕ ЙНЕАФУС НОПЦЕУФЧБ,
ЗТБОЙГБ ЛПФПТЩИ, ОБРТЙНЕТ, <<ВПМШЫЕ>> УБНПЗП НОПЦЕУФЧБ: РХУФШ $E$ ФПЮЛЙ
$(x,y)$ ЕДЙОЙЮОПЗП ЛЧБДТБФБ, Х ЛПФПТЩИ ЛППТДЙОБФЩ $x$ Й $y$ ТБГЙПОБМШОЩ.
\[
E=\big\{(x,y):0\leq x\leq1,0\leq y\leq 1, x\in\Q, y\in\Q\big\}.
\]

\teo{ъБДБЮБ.}  дПЛБЦЙФЕ, ЮФП 

1) $\overline E=\big\{(x,y):0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1$ 
(Ф.~Е.  ЪБНЩЛБОЙЕ $E$ УПЧРБДБЕФ У ЕДЙОЙЮОЩН ЛЧБДТБФПН); 

2) $\overset{\circ}E=\Empty$  (Ф.~Е.  $E$ ЙНЕЕФ РХУФХА ЧОХФТЕООПУФШ);

пФУАДБ УМЕДХЕФ, ЮФП ЗТБОЙГБ $\D E$ УПЧРБДБЕФ У ЕДЙОЙЮОЩН ЛЧБДТБФПН Й РПЬФПНХ
УФТПЗП УПДЕТЦЙФ Ч УЕВЕ НОПЦЕУФЧП $E$.  


\teo{фЕПТЕНБ.} \begin{itshape} 
уРТБЧЕДМЙЧЩ УМЕДХАЭЙЕ ДЧБ ХФЧЕТЦДЕОЙС: 
\begin{itemize}
\item[$1)$] нОПЦЕУФЧП ПФЛТЩФП ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ
ЕЗП ДПРПМОЕОЙЕ ЪБНЛОХФП.  

\item[$2)$] нОПЦЕУФЧП ЪБНЛОХФП ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ,
ЛПЗДБ ЕЗП ДПРПМОЕОЙЕ ПФЛТЩФП.  
\end{itemize}
\end{itshape}

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П.  рХУФШ $F$~--- ЪБНЛОХФП.  уППФОПЫЕОЙЕ \linebreak
$x\in F^c$ c ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ФПЮЛБ $x$ ОЕ РТЙОБДМЕЦЙФ ЪБНЛОХФПНХ НОПЦЕУФЧХ 
$F$,  РПЬФПНХ ОЕ СЧМСЕФУС ДМС ОЕЗП РТЕДЕМШОПК.  ъОБЮЙФ, ЙНЕЕФУС
ПЛТЕУФОПУФШ $U_{\delta}(x)$ ОЕ РЕТЕУЕЛБАЭБСУС У $F$, Б РПФПНХ УПДЕТЦБЭБСУС 
Ч $F^c$. ф.~Е. $x$ РТЙОБДМЕЦЙФ $F$ c ЧНЕУФЕ У ПЛТЕУФОПУФША $U_{\delta}(x)$.  
нЩ РПЛБЪБМЙ, ЮФП МАВБС ФПЮЛБ $x\in F^c$~--- ЧОХФТЕООСС, ЪОБЮЙФ, 
$F^c$~--- ПФЛТЩФП.  

рХУФШ $G$~--- ПФЛТЩФП Й ФПЮЛБ $x$~--- РТЕДЕМШОБС ДМС $G^c$.  фПЗДБ 
$x\ne G$, ЙОБЮЕ ПОБ РТЙОБДМЕЦБМБ ВЩ $G$ ЧНЕУФЕ У ОЕЛПФПТПК ПЛТЕУФОПУФША 
Й ЬФБ ПЛТЕУФОПУФШ ОЕ РЕТЕУЕЛБМБУШ ВЩ У $G^c$, ЮФП РТПФЙЧПТЕЮЙФ ФПНХ, 
ЮФП $x$ РТЕДЕМШОБС ДМС $G^c$.  ъОБЮЙФ, $x\in G^c$ Й $G^c$ УПДЕТЦЙФ 
ЧУЕ УЧПЙ РТЕДЕМШОЩЕ ФПЮЛЙ.

юФП Й ФТЕВПЧБМПУШ ДПЛБЪБФШ.  

\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} \tit{оЕРТЕТЩЧОПЕ} ПФПВТБЦЕОЙЕ ПФТЕЪЛБ 
$[\alpha;\beta]\subset\R$ 
Ч РТПУФТБОУФЧП $\R^N$, ЪБДБЧБЕНПЕ УППФОПЫЕОЙЕН
\(\gamma: t\mapsto\big(x^1(t),\dots,x^N(t)\big)\)
Ч ДБМШОЕКЫЕН НЩ ВХДЕН ОБЪЩЧБФШ \tit{РХФЈН} Ч $\R^N$ ЙМЙ, ВПМЕЕ ДМЙООП,
РБТБНЕФТЙЪПЧБООПК ЛТЙЧПК.

оБРПНОЙН, ЮФП ОЕРТЕТЩЧОПУФШ ПФПВТБЦЕОЙС \(\gamma\) ПЪОБЮБЕФ, ЮФП
ЪБДБАЭЙЕ ЕЗП <<ЛППТДЙОБФОЩЕ ЖХОЛГЙЙ>> $t\mapsto x^k(t)$:
\[
\gamma:\begin{cases}x^1=x^1(t)&\\ \dots& t\in[\alpha;\beta],\\
x^N=x^N(t)&\end{cases}
\]
ОЕРТЕТЩЧОЩ  ОБ ПФТЕЪЛЕ $[\alpha;\beta]$ ДМС МАВПЗП $k=1,2,\dots,N$.  

еУМЙ РТЙ МАВПН $t\in [\alpha;\beta]$ ФПЮЛБ 
$\gamma(t)=\big(x^1(t),\dots,x^N(t)\big)$ МЕЦЙФ Ч НОПЦЕУФЧЕ 
$D\subset\R^N$, ЗПЧПТСФ, ЮФП \tit{РХФШ МЕЦЙФ Ч} $D$.  

еУМЙ 
\begin{align*}
\gamma(\alpha)&=\big(x^1(\alpha),\dots,x^N(\alpha)\big)=a=(a^1,\dots,a^N),\\
\gamma(\beta)&=\big(x^1(\beta),\dots,x^N(\beta)\big)=b=(b^1,\dots,b^N),
\end{align*}
ФП ЗПЧПТСФ, ЮФП \tit{РХФШ УПЕДЙОСЕФ} ФПЮЛЙ $a$ Й $b$.  


\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.}  зПЧПТСФ, ЮФП НОПЦЕУФЧП $D$ \tit{МЙОЕКОП УЧСЪОП}, 
ЕУМЙ МАВЩЕ ЕЗП ДЧЕ ФПЮЛЙ НПЦОП УПЕДЙОЙФШ РХФЈН МЕЦБЭЙН Ч $D$.
уМЕЧБ ОБ ЛБТФЙОЛЕ НОПЦЕУФЧП $D$~--- МЙОЕКОП УЧСЪОП, УРТБЧБ НОПЦЕУФЧП 
$E$~--- ОЕФ.   

\centerline{\includegraphics{topology.5}}

уМЕДХАЭЕЕ РПОСФЙЕ СЧМСЕФУС ПДОЙН ЙЪ ОБЙВПМЕЕ ХРПФТЕВЙНЩИ 
РТБЛФЙЮЕУЛЙ ЧП ЧУЕК НБФЕНБФЙЛЕ, Б ОЕ ФПМШЛП Ч НБФЕНБФЙЮЕУЛПН БОБМЙЪЕ.  

\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.}  нОПЦЕУФЧП ОБЪЩЧБЕФУС \tit{ПВМБУФША},
ЕУМЙ ПОП \tit{ПФЛТЩФП} Й \tit{МЙОЕКОП УЧСЪОП}.  

оБ ТЙУХОЛБИ ОЙЦЕ ЙЪПВТБЦЕОЩ РТЙНЕТЩ ФТЈИ ПВМБУФЕК ОБ РМПУЛПУФЙ. 
\begin{center}
\includegraphics{topology.8}
\includegraphics{topology.6}
\includegraphics{topology.7}
\end{center}
рЕТЧБС ЙЪ ОЙИ \(D_1\) ОБЙВПМЕЕ РТПУФБ. фБЛЙЕ ПВМБУФЙ ОБЪЩЧБАФ 
\tit{ПДОПУЧСЪОЩНЙ}, ФБЛ ЛБЛ ЗТБОЙГБ ЕЈ УПУФПЙФ ЙЪ ПДОПК УЧСЪОПК 
ЪБНЛОХФПК МЙОЙЙ. чФПТБС ПВМБУФШ \(D_2\) ЙНЕЕФ <<ДЩТЩ>>. еЈ ЗТБОЙГБ 
УПУФПЙФ ЙЪ ЗТБОЙГ РСФЙ <<ДЩТ>> Й ЛТЙЧПК, СЧМСАЭЕКУС <<ЧОЕЫОЕК>> 
ЗТБОЙГЕК. ф.~Е. \tit{ЧУС} ЗТБОЙГБ УПУФПЙФ ЙЪ ЫЕУФЙ \tit{ПФДЕМШОЩИ} УЧСЪОЩИ 
НОПЦЕУФЧ. рПЬФПНХ ЬФХ ПВМБУФШ ОБДП ОБЪЩЧБФШ \tit{ЫЕУФЙУЧСЪОПК}. рТЙНЕТПН 
\tit{ВЕУЛПОЕЮОПУЧСЪОПК} ПВМБУФЙ СЧМСЕФУС ПВМБУФШ \(D_3\). пОБ
РПУФТПЕОБ ФБЛ: ЙЪ УЕТЕДЙОЩ ЪБЛТБЫЕООПЗП РТСНПХЗПМШОЙЛБ ЙЪЯСМЙ ЧЕТФЙЛБМШОЩК
РТСНПХЗПМШОЙЛ ЫЙТЙОЩ \(\eps>0\) (ОБ ЛБТФЙОЛЕ УБНБС ФПМУФБС ВЕМБС МЙОЙС).
ъБФЕН, ОБ ТБУУФПСОЙЙ $\frac12$ ЧМЕЧП ПФ ОЕЗП ЙЪЯСМЙ РТСНПХЗПМШОЙЛ ЫЙТЙОЩ
\(\frac{\eps}2\). уМЕДХАЭЙК РТСНПХЗПМШОЙЛ ЫЙТЙОЩ $\frac{\eps}{2^2}$ 
ЙЪЩНБЕФУС  ОБ ТБУУФПСОЙЙ $\frac23$, РПФПН ЫЙТЙОЩ $\frac{\eps}{2^3}$ 
ОБ ТБУУФПСОЙЙ \(\frac34\)\dots. ч ТЕЪХМШФБФЕ ЙЪ РТСНПХЗПМШОЙЛБ
ЙЪЩНБЕФУС ВЕУЛПОЕЮОПЕ НОПЦЕУФЧП ХФПОШЫБАЭЙИУС РТСНПХЗПМШОЙЛПЧ.
зТБОЙГБ РПМХЮЕООПЗП НОПЦЕУФЧБ УПДЕТЦЙФ ЗТБОЙГЩ ЧУЕИ РТСНПХЗПМШОЙЛПЧ,
Ф.~Е. УПУФПЙФ ЙЪ ВЕУЛПОЕЮОПЗП НОПЦЕУФЧБ <<ЛПНРПОЕОФ>> (УЧСЪОЩИ ЛХУЛПЧ).
 
ч ДБМШОЕКЫЕН НЩ ВХДЕН ТБУУНБФТЙЧБФШ ЖХОЛГЙЙ, ПРТЕДЕМЈООЩЕ, 
ЛБЛ РТБЧЙМП, Ч ПВМБУФЙ. 
 
йОПЗДБ ЕЭЈ ЙУРПМШЪХЕФУС ФЕТНЙО <<ЪБНЛОХФБС ПВМБУФШ>>. ьФП НОПЦЕУФЧП, 
РПМХЮЕООПЕ ЪБНЩЛБОЙЕН ПВМБУФЙ. йОЩНЙ УМПЧБНЙ, ЬФП ПВЯЕДЙОЕОЙЕ ПВМБУФЙ 
Й ЕЈ ЗТБОЙГЩ. дБМЕЛП ОЕ МАВПЕ ЪБНЛОХФПЕ НОПЦЕУФЧП НПЦОП РПМХЮЙФШ
ФБЛЙН ПВТБЪПН. рПЬФПНХ ФЕТНЙО <<ЪБНЛОХФБС ПВМБУФШ>> ЧПЧУЕ ОЕ
СЧМСЕФУС УЙОПОЙНПН ФЕТНЙОБ <<ЪБНЛОХФПЕ НОПЦЕУФЧП>>. рТЙНЕТЩ ЪБНЛОХФЩИ
НОПЦЕУФЧ, ОЕ СЧМСАЭЙИУС ЪБНЛОХФЩНЙ ПВМБУФСНЙ, РТЙДХНБКФЕ УБНПУФПСФЕМШОП
Ч ЛБЮЕУФЧЕ ХРТБЦОЕОЙС.


\subsection*{жХОЛГЙЙ НОПЗЙИ РЕТЕНЕООЩИ} 

\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.}  жХОЛГЙЕК $N$ РЕТЕНЕООЩИ \((x^1,\dots,x^N)\) ОБЪЩЧБАФ
ЖХОЛГЙА, $f:D\to\R$ ЪБДБООХА Ч ОЕЛПФПТПК \tit{ПВМБУФЙ} $D\in\R^N$ 
(УН.  ПВЭЕЕ ПРТЕДЕМЕОЙЕ ЖХОЛГЙЙ ЧП <<чЧЕДЕОЙЙ Ч БОБМЙЪ>>).  
оБ ЙОФХЙФЙЧОПН ХТПЧОЕ НПЦОП УЛБЪБФШ, ЮФП ЖХОЛГЙС $N$ РЕТЕНЕООЩИ 
$f$, ПРТЕДЕМЈООБС Ч ПВМБУФЙ $D\subset\R^N$, ЬФП РТБЧЙМП, УПРПУФБЧМСАЭЕЕ 
ЛБЦДПК ФПЮЛЕ $x{=}(x^1,\dots,x^N){\in} D$ ОЕЛПФПТПЕ ЮЙУМП 
$f(x)=f(x^1,\dots,x^N)$. 



пЮЕЧЙДОП, ЗТБЖЙЛ ЖХОЛГЙЙ $N$ РЕТЕНЕООЩИ СЧМСЕФУС РПДНОПЦЕУФЧПН Ч 
$\R^{N+1}=\R^N\times\R$, РПЬФПНХ ЙЪПВТБЪЙФШ ЕЗП ОБ ТЙУХОЛЕ 
ХДБЈФУС ФПМШЛП ДМС ЖХОЛГЙК ПДОПК Й ДЧХИ РЕТЕНЕООЩИ.  
\begin{center}
\includegraphics{cos_xy.1}
\end{center}

еУМЙ РЕТЕНЕООЩИ ДЧЕ ЙМЙ ФТЙ, ФП РТЕДУФБЧЙФШ УЕВЕ РПЧЕДЕОЙЕ
ЖХОЛГЙЙ НПЦОП ЙЪПВТБЦБС НОПЦЕУФЧБ ХТПЧОС $\ell_C(f)=\{x:f(x)=C\}$. 
ьФПФ НЕФПД ПВЭЕРТЙОСФ Ч ЛБТФПЗТБЖЙЙ, ЗДЕ ОБ ЛБТФБИ ЙЪПВТБЦБАФ 
МЙОЙЙ ХТПЧОС ФБЛЙИ  ЖХОЛГЙК, ЛБЛ 

$z=$<<ЧЩУПФБ Ч ФПЮЛЕ $(x,y)$ ОБД ХТПЧОЕН НПТС>>, 

\(z=\)<<УТЕДОСС ФЕНРЕТБФХТБ Ч ФПЮЛЕ $(x,y)$>> (ЙЪПФЕТНЩ),

$z=$<<УТЕДОЕЕ ДБЧМЕОЙЕ Ч ФПЮЛЕ $(x,y)$>> (ЙЪПВБТЩ).  

ч УМХЮБЕ, ЛПЗДБ РЕТЕНЕООЩИ ВПМШЫЕ ФТЕИ, ОБЗМСДОПЕ РТЕДУФБЧМЕОЙЕ 
П ЗТБЖЙЛЕ ЖХОЛГЙЙ НПЦОП РПМХЮЙФШ УФТПС ТБЪМЙЮОЩЕ
ДЧХНЕТОЩЕ УЕЮЕОЙС ЬФПЗП ЗТБЖЙЛБ.  

\end{document}
Соседние файлы в папке lec18
  • #
    25.04.20151.92 Mб7lec18-0.ps
  • #
    25.04.2015438.53 Кб7lec18-1.ps
  • #
    25.04.20151.88 Mб8lec18-2.ps
  • #
    25.04.201516.61 Кб6lec18.tex