чихинКл.А.льнорИнт ниисчисл (5.03.2009)10кциял мнсромыорТ
остокиВл 2009
10кцияЛ |
|
мтеоремыноторыесрнек |
частоочень |
â |
|||||||||||||
мизучимортмыярЗдесьП |
|||||||||||||||||
полученияужмынихизую |
|
ормулыпогрешностиоценкидля |
-ÿ |
||||||||||||||
дляенияхжприло |
|
|
|
|
|
|
|
.интеграловоценокдаро |
Ïåð |
|
|||||||
8.лекциикдобавлениивовмоугольник |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
всехТ ор м (перваяприменялитеоремаразличногосреднем) Пусть f, g применяемыеP Rra; bs ïðè |
|||||||||||||||||
ствуетx Pтакоеra; bs g÷èñpxqëî¥ |
0. Åñ |
|
|
M |
rsup f pаведливаxq m rinf f pxq, то суще- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a;bs |
|
|
|
|
a;bs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
»µ P rm; M s, |
спрчто |
|
|
ормула |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
справедливыемойДкзиманунеравенствалограниченаьстf pxâqgp.xÏîñêq dx олькуµ |
gpункцияxq dx. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
ðó |
ïî |
» |
, |
|
|
» |
|
rотрезкена |
|
f , будучи интегри- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a; bs, то m и M конечны и |
||||
нуНеравенстваункциюсохранятся, еслиm |
их¤ fумноpxq ¤житьM. на положительную величи- |
||||||||||||||||
|
|
gpxq: |
³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, в силу свойстваmgpмонотонностиxq ¤ f pxqgpxq интеграла,¤ M gpxq. |
получим |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
³ |
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
m |
|
|
gpxq dx ¤ |
|
|
f pxqgpxq dx |
¤ M |
|
gpxq dx. |
|
|
|||||
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||
|
³b |
³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³b |
|
|
|
|
µ |
|
|
b |
|
-условемоетребуместоимееточевидно,то,, |
|||||||||||
è |
gpxq dx 0, òî, êàê следует из этих неравенств, f pxqgpxq dx 0 |
||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
µЕслиможно³ взять любым из ra; bs. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
ñòва:и интеграла,gpxqèdxна этутовеличину0 gpxq dxмо¡жновпосилуделитьсвойстваполученныеположительнонеравен0 |
|||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
взятьЕсли |
|
|
|
m ¤ |
|
ab |
³f pxqgpxq dx |
¤ M. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ab gpxq dx |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³f pxqgpxq dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вии теоремы равенствоgpxq.dxТеорема доказана |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
З ч . Оценить сверху илиснизу интеграл π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
||||||||||||||||||||||||||||
екритическихпромежуткн.Положим ш мает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³2 |
|
|
100 2 |
x dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
, gpxq x. Чтобы оце |
||||||||||||||||
òü |
|
|
0; π |
|
|
f px |
|
|
100 2 |
|
3 sin3 x cos x |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
таких точек только две: x |
0, x |
π . Ïодставëÿÿ, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
íëå¼è произвоp ксимумf на днойминимум(максиматочк.Дляах0;ëьное, рассэтогоминимальноенаотримвычислимконцахунинтервала):êцзнаютическиечениеsin x cosункцточкиx. Найд¼мя прину- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin3 x cos xq1 |
|
|
|
|
2 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 sin2 x cos2 x |
sin4 x |
sin2 xp3 cos2 x sin2 xq 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg x |
3. |
|
|||||
Íà ïðîsinежуткx å0, |
3 cos |
x |
sin |
|
|
|
0 |
|
|
|
sin x 0, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
¤ |
3 |
3 |
|
|
ñ |
|
0 |
¤ 2 |
|
|
x cos x |
¤ 9 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Учитывая0ýòó¤ sinоценку,x cos xíàõîäèì |
|
|
|
|
3 sin |
|
|
8 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
¤ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ìåтеорейпервопоТеперь, |
среднемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
100 |
|
9 |
|
100 |
|
2 |
|
|
3 sin3 x cos x |
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
» |
π |
|
|
|
» |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
¤ |
|
1 |
|
» π |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
Èëè (ñ ó÷¼òîì òîãî,x dx÷ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
100 |
9 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
100 |
|
|
2 |
|
|
3 sin3 x cos x |
|
100 |
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
π2 |
»¤ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
чаимян.получиласьсреднемсремататеоявляетсмымрееоразательствальóтрезтеодокорйв)тргя.òî(непросемой,ВтортегралаКакСледующаявидимв |
ñоченьтнымодержитслучаемточнаявсебеоцеобглавнуюазнатакчениячастьназываине¼нкщей,. -- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
809 |
|
0 |
100 |
|
2 |
|
|
3 sin3 x cos x |
|
800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
. э) Бонн ормула (первая Т ор м |
» |
|
|
|
|
|
Rra; bs, |
|
|
|
||||||||||||
|
Пусть g P |
|
ункция а |
||||||||||||||||||||
fТогдаубываетсущес вуетна отрезкетакое чисra;ëîbs |
âñåõ äëÿ è |
x |
P |
ra; bs |
имеем |
|
f pxq ¥ 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
ξ |
P ra; bs, ÷òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
-ñ |
|
¸n |
» |
xk |
|
|
|
|
|
|
èëèî |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ð ëèíò |
|
|
|
|
|
|
|
отняли |
|
|
|
|
|||||||
записи: краткой В |
f pxqgpxq dx |
f paq |
|
|
|
gpxq dx. |
ìî |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
» |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
g P ÄRrîa;êbs^à fç Óà ròa;åbs^ë fь ¥ности0 ñâ îD.ξÄëÿP ra;произвольногоbs : f pxqgpxq dxразбиенияf paq |
отрезкgpxq dx.а |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
||
τ » ta x0 x1 |
|
xn bu имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
f pxqgpxq dx èòè |
|
|
|
f pxqgpxq dx ñë |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
k 1 |
xk 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
¸n |
|
|
xk |
|
|
|
¸n |
|
xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
-плаooonqpqooooooooooopoooooследующемуqпоpoooooomooдитьoooooooooooпровоlooooбудемonаемоеqoooooopслагoooooooчтоomoазательствоoаждокем,pпокloooooooooooooДальнейшееСначалау. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
³ |
f xk |
1q |
g x dx |
|
|
|
|
f xk 1 |
f x g x dx . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
xk 1 |
|
|
|
|
xk 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
S1 |
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
С 0, когда мелкость разбиения |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
p |
q |
0 |
тогдаНо.1)(шаг |
|
|
|
S1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
λ τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
исходпределомиметьобязано |
||||||||||||||
³интегралыйí |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
ab f pxqgpxq dx. А мы покажем, что для любого разбиения τ |
|||||||||||||||||||
ãäå |
|
|
|
|
|
f paqm ¤ |
S1 ¤ f paqM ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
öèèm, M соответственно минимум и максимум непрерывной(!) унк- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
венстваGpxсоq храняютсgptq dtя),(шаг 2). Поэтому (при перех де к пределу нера |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чениемТак |
èçîì,îáð |
тегралf paqm ¤³ |
|
f pxqgpxq dx |
|
¤ f paqM. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
-знапромежуточнымявляется |
||||||||||||
|
непрерывнаяой ункцииf pxqgpxq dx |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
найд¼тсКоши |
оеакт |
ункция принимаетx ЮСf paвсеqGpxпромежуточныеq. Поскольку познатеоремечения, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
» ξ P ra; bs, ÷òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f pxqgpxq dx |
f paqGpξq f paq |
|
gpxq dx, |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
дяетстребуичто |
|
поазать |
|
.теоремысловию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
.2шаги1шагжденияутверемаждокак,Ит |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
kkkkkk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ункция ольку Поск 1. |
|
g |
|
P |
|
Rra; bs, |
Пусть ограничена. она |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
gpxq |
¤ L. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
¸n |
|
|
|
|
xk |
|
|
hkkkkkkkkik¥0 kkkkkkkj |
|
|
|
|
|
³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f px |
1q f pxq |
gpxq dx ¤ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
xk 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p ¤ |
x |
|
1 |
q |
p |
x |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hkf |
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
¸n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kikkkkkkkkjk q |
kj ¤ kik | hk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f pxk 1 q f pxq |
|
|
gpxq| |
|
dx |
¤ |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
xk 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
¸n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q .чили p емостиобозна q мы p q интегрируольку p Поск |
L |
|
|
|
|
p |
f |
q |
xk |
ЭЭЭЭЭС 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
равенствасилуLкритерия2. f xk 1 |
|
|
|
|
f xk |
|
|
xk |
|
|
xk 1 |
|
|
|
|
|
ωk |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
λpτ qÑ0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gpxq |
|
|
ax gptq dt, |
местоимеют |
|||||||||||||
|
|
xk |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gpxq dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Подставляяgpâxq dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
gpxq dx |
|
|
|
|
|
Gpxk q Gpxk 1 q. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
xk 1 |
|
|
|
|
|
|
|
xk 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
S1, |
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
S1 |
|
|
|
|
|
³ |
f pxk 1q |
Gpxk q Gpxk 1 q |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
f |
p |
xk |
|
1 |
q |
|
|
p |
|
|
|
|
f |
p |
xk |
|
1 |
q |
|
p |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G xk |
|
|
|
|
|
|
|
G xk |
|
q |
|
|
||||||||||||||||||||||
сумме последней в Cделаем |
индекса q замену |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
1 |
k |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
¸n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n¸1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
чтоУчт¼м, |
|
|
|
|
|
f pxk 1qGpxk q |
|
|
|
|
f pxk1 qGpxk1 q |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Gpx0q Gpaq aa f ptq dt 0 |
и опять будем писать k вместо k1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n¸1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
условиюпокакТак |
|
f pxk 1q f pxk q |
Gpxk q |
|
|
f pxn 1qGpxn q. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
множителивсе |
|
|
m |
¤ |
Gpxk q ¤ |
M |
|
ãäå m |
rinf Gpxq, M |
rsup Gpxåíèåq, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a;bs |
|
|
|
|
|
|
|
a;bs |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f pxk 1 q f pxk q |
¥ |
0, |
f pxn 1q ¥ |
0, последнее выраж |
|
|
яоцениваетс |
|
àê: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n¸1 |
|
qpqквадратныхв |
|
|
|
|
|
|
|
|
n¸1 |
|
|
|
p |
|
q |
|
|
p |
|
q |
|
||||||||||||
pсуммаНо |
qя:pвычисляетсо¤легк¤ахqскобк |
f |
xk |
f |
xn 1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
m |
|
f xk 1 |
|
f xk |
|
|
f pxn 1 |
S1 M |
|
|
|
|
f xk 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n¸1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f pxk 1q f pxk q |
|
|
f pxn 1q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
k 1 |
|
|
f px0q f px1q |
|
|
f px1q f px2q |
|
|
|
f px2q f px3q . . . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
получаемПоэтому |
pнеравенства |
|
|
» |
|
|
f |
p |
xn 1q f px0q f paq. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f xn 2q f pxn 1q |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Что и требовалось доказатьmf paq ¤ S1 ¤ M f paq. |
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Т о м (вторая ормула. |
. ý) Áîíí |
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g P Rra; bs, |
ункция а |
|
||||||||
fсуществуевоз ас |
|
чисотрезкело аеттакоена |
ra; bs è äëÿ âñåõ x |
P ra; bs |
f pxq ¥ 0. |
Тогда |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
ξ |
P ra; bs, ÷òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
записи:краткойВ |
|
|
|
f pxqgpxq dx f pbq |
|
|
|
|
gpxq dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
» |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
gпервойP ДRra;теоремыкbs^à çf аТубываетraБоннэл; bs^интегралаь.сf ¥Äëÿ0вчтосэтого.DМыξ P rобознадокa; bsажчимемэту: f pчерезxqgтеоремуpxq dx êàêf pbqследствиеgpxq dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
Очевидно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F pxq f pbq f pxq. |
|
||||||||||||
общности можноF |
сч ункциюать,F pxq |
¥ |
0. Отметим ещ¼, что без ограничения |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f paq |
0, |
|
|
случае какочевидно,противном ак |
|
||||||||||||||||||
переоп мы, |
еделив |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
дногоБоннэ исх теорему значения первую |
|
ункциямвсохранимднойточке¼монотонностье,.неПрименимизменимf |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
g: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
»Èëè, |
в более подробнойξ P ra; bs : |
записи,F pxqgpxq dx |
|
F paq |
|
gpxq dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hkkik0kj |
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
f pbq f pxq |
gpxq dx |
|
|
f pbq f paq |
|
|
|
|
|
gpxq dx f pbq |
|
gpxq dx. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
отсюдаВыражая |
³ |
b |
» |
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
» |
|
|
|
|
a f pxqgpxq dx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
одимнах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
ξ |
gpxq dx |
f pbq |
|
b |
|
|
|||||||||
Что и требовалосьf pxqgpxq dx äîêf pазатьbq |
|
gpxq dx |
|
|
|
gpxq dx. |
|||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
||||
Т ор м (вторая теорема. |
.среднем)о |
Пусть |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
Rra; bs |
|
f |
|||
rнамонотонна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
è |
|||||||
|
» |
|
a; bs. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ствиеОчевидно,ункцияДпервойазубываеттеоремыf pxqëgpüxqубываетсdxБоннэf..pМыПредполоaq äîêgpxàæq dxемжимэтудляf pbтеоремуq определ¼нности,gpxqòîædx. как следчто |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
||
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
F pxq f pxq f pbq. |
|||||
|
|
|
|
на ra; bs. Тогда |
через бозначим |
|
|||||||||||||||||||||||
менить первуюF pxq ¥îðìó0»и лу Боннэ:.Поэт му к ункциям F |
|
g можно при- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Или, более »подробно, F pxqgpxq dx |
|
F paq |
|
|
|
gpxq dx. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выраж» ая из этогоf pxqравенстваf pbq gpxнужныйq dx fинтеграл,paq f pbq находимgpxq dx. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||
b |
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
||
f pxqgpxq dx |
f paq |
|
|
gpxq dx f pbq |
|
|
|
gpxq dx |
|
|
|
gpxq dx |
|
||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ничмтребовалосьЧтоЗ |
äîêf pазатьaq |
gpxq dx |
f pbq |
|
|
gpxq dx. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ункция |
|
|
|
. |
В случае, к.огда в дополнение к дную,словиям теоремы |
||||||||||||||||||||||||
рывна,1В случдокf ,азательствоимеетко интегрирувторойемуютеоремыпоиманусреднемпроизвоможно существенноаg непре- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
f |
ятьонт,стро |
F pxq f pbq f pxq. |
|
|
|
|
|
упростить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
» |
b |
1 |
|
|
» |
b |
1 |
» |
|
1 |
1 |
|
|
» |
|
|
» |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
f pxqgpxq dx |
|
|
|
f pxqG pxq dx |
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
||||||||
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
мойДалее,» о fсреднем:дляpxqGвычисленияpxq f второгоpxqG x dxинтегралаf pbq |
|
воспользуgpxq dx åìñÿfпервойpxqGpxтеореq dx |
- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f pxqGpxq dx |
Gpξq |
|
f pxq dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
Что и требовалось доказатьGpξq |
f pbq f paq |
|
|
|
f pbq f paq |
|
|
gpxq dx |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
.