Лабораторні роботи з ТОЕ. 3 курс / 6 / Л.р.№ 6

Лабораторна робота №6

Дослідження перехідного процесу в електричному колі за допомогою інтегралу Дюамеля

Мета: Набути навичок аналізу перехідного процесу у лінійному електричному колі за допомогою інтегралу Дюамеля в середовищі MathCAD

Короткий зміст роботи: Дослідити зміну струму в котушці за допомогою інтегралу Дюамеля при вмиканні електричного кола на довільну напругу. Розрахунки виконати за допомогою перехідної функції (перехідної характеристики) і імпульсної перехідної функції (імпульсної перехідної характеристики). Порівняти результати розрахунків обома методами.

Задача 6.1

Електричне коло, яке наведено на рисунку 6.1, вмикється у час t = 0 на напругу u(t) (рис.6.2). Зміна напруги джерела відбуваєтьс я у моменти t1:= 4c та t2:= 6c і на окремих інтервалах описується так:

при 0 ≤ τ ≤ t1, u1(τ)=150-100∙e^-0.25∙τ ; (6.1)

при t1 ≤ τ ≤t 2, u2(τ)=50+100∙e^-0.4∙(τ-t₁⁾ ; (6.2)

при τ ≥ t2, u3(τ)=0. (6.3)

Параметри елементів кола:

R:= 0.5 Ом

L:= 1 Гн

Рисунок 6.2.

Визначити струм у котушці за допомогою перехідної функції та імпульсної перехідної функції, використовуючи формулу Дюамеля.

Розв’язання:

Корінь характеристичного рівняння для кола з послідовним сполученням елементів із параметрами R та L і перехідну характеристику (перехідну функцію) – Реакцію кола на одиничний стрибок напруги – знайдемо класичним методом аналізу перехідних процесів (див. лабораторну роботу №1):

. (6.4)

. (6.5)

У перший інтервал часу (при 0 < τ < t1) струм у колі

. (6.6)

У другий інтервал часу (при t1 ≤ τ ≤t 2), з врахуванням стрибка вхідної напруги в момент часу t1, струм у колі

(6.7)

У третій інтервал часу (при τ ≥ t2), з врахуванням стрибка вхідної напруги в момент часу t2, струм у колі

. (6.8)

Опишемо та побудуємо графіки вхідної напруги і розрахованого струму на інтервалі часу

t:=0,0.1..15c. (6.9)

Напруги на інтервалах часу:

(6.10)

(6.11)

(6.12)

(6.13)

Струми на інтервалах часу:

(6.14)

(6.15)

(6.16)

(6.17)

Графіки зміни у часі напруги джерела і струму в котушціЮ обчислеого за перехідною функцією, наведено на рисунку 6.3.

Рисунок 6.3

Імпульсну перехідну характеристику (імпульсну перехідну функцію) – реакцію кола на одиничний імпульс напруги – знайдемо диференціюванням перехідної функції:

. (6.18)

У перший інтервал часу (при 0 ≤ τ ≤ t1) струм у колі

. (6.19)

У другий інтервал часу (при t1 ≤ τ ≤t 2) струм у колі

. (6.20)

У третій інтервал часу (при τ ≥ t2) струм у колі

(6.21)

Опишемо та побудуємо графіки вхідної напруги і розрахованого струму на інтервалі часу

t:=0,0.1..15c.

Струми на інтервалах часу:

(6.22)

(6.23)

(6.24)

(6.25)

Графіки зміни у часі напруги джерела і струму в котушці, обчисленого за імпульсною перехідною функціею, наведеною на рисунку 6.4.

На рисунку 6.5 наведено графіки зміни струму у котушці, які обчислені за перехідною функцією та імпульсною перехідною функцією. Як видно на рисунку, результати розрахунку співпадають.

Рисунок 6.4.

Рисунок 6.5.