Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лабораторные / (№2-17)

.pdf
Скачиваний:
22
Добавлен:
20.04.2015
Размер:
861.52 Кб
Скачать

1

Лабораторная работа № 2-17

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

(RLC – КОНТУР)

С.И.Валянский

Цель работы

Изучение явлений резонанса токов и напряжений в колебательном RLC-контуре.

Теоретическое введение

Последовательный колебательный RLC– контур. Простейшим последовательным колебательным контуром являются последовательно включенные катушка индуктивности L, конденсатор C. При воздействии на такую цепь переменного

(в простейшем случае гармонического) напряжения, через катушку и конденсатор будет протекать переменный ток, величина (амплитуда) которого может быть

вычислена согласно закону Ома:

I =

 

 

U

 

 

 

, где |ZΣ| -модуль

суммы

реактивных

 

 

ZΣ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сопротивлений последовательно включенных катушки и конденсатора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На

рис.

17.1

показана

 

 

 

 

 

 

 

 

электрическая схема

последовательного

 

 

 

 

 

 

 

 

колебательного RLC– контура.

 

 

 

 

 

 

 

 

На

рис.

17.2

приведены

Рис. 17.1 Последовательный

 

 

 

 

 

 

 

зависимости реактивных сопротивлений

колебательный RLC– контур

 

 

 

 

 

 

 

катушки ZL и конденсатора ZC и их

 

 

 

 

 

 

 

 

алгебраической суммы ZΣ от круговой частоты ω. Из этого графика видно, что на

некоторой частоте ω = ωр, при

которой

реактивные

сопротивления

катушки и

конденсатора равны по модулю, общее сопротивление цепи обращается в ноль. На этой частоте в цепи наблюдается максимум тока, который ограничен только омическим сопротивлением цепи R (сопротивлением провода обмотки катушки, сопротивлением

2

подводящих проводов, внутренним сопротивлением источника тока). Частоту ωр

 

называют

резонансной частотой

или

 

собственной частотой колебаний цепи.

 

 

Также из рис. 17.2 видно, что на

 

частотах

меньших

частоты резонанса

 

реактивное

сопротивление

 

последовательного колебательного контура

 

носит емкостной характер, а на более

 

высоких

частотах

индуктивный.

Что

 

касается самой резонансной частоты, то

Рис. 17.2 Зависимости реактивных

она может быть вычислена при помощи

сопротивлений катушки ZL и

известной формулы Томсона:

 

конденсатора ZC от круговой частоты ω.

 

ω р =

 

1

 

(17.1)

 

 

 

 

 

 

CL

Эквивалентная схема последовательного RLC– контура, изображенная на рис. 17.1, подключена к идеальному генератору гармонического напряжения с амплитудой

U. Модуль полного сопротивления (импеданса) такой цепи определяется следующим

образом: z = R2 + ZΣ 2 , где

 

 

ZΣ

 

= ωL

 

1

 

 

 

 

(17.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что

на

резонансной частоте,

когда

величины

реактивных

сопротивлений катушки

ZL = jωL

и конденсатора

ZC = −

j

равны

по модулю,

 

ωC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

величина |ZΣ| обращается в нуль (следовательно, сопротивление цепи чисто активное), а

3

ток в цепи определятся отношением амплитуды напряжения генератора к

сопротивлению омических потерь: I = U . При этом на катушке и на конденсаторе, в

R

которых запасена реактивная электрическая энергия, падает одинаковое напряжение UL

= UC, т.к. |ZL| = |ZC|. На любой другой частоте, отличной от резонансной, напряжения на

катушке и конденсаторе неодинаковы они определяются амплитудой тока в цепи и величинами модулей реактивных сопротивлений |ZL| и |ZC|. Поэтому резонанс в

последовательном колебательном RLC– контуре принято называть резонансом напряжений. С учетом приведенной записи для импеданса цепи можно привести часто встречающееся определение резонансной частоты: резонансной частотой контура

называют такую частоту, на которой сопротивление контура имеет чисто

активный (резистивный) характер.

Для колебательного контура важными параметрами являются резонансная частота ωр, характеристическое сопротивление ρ и добротность Q.

Характеристическим сопротивлением контура ρ называется величина модуля реактивного сопротивления емкости и индуктивности контура на резонансной частоте:

ρ = |ZL| = |ZC| при ω = ωр. В общем случае характеристическое сопротивление может

быть вычислено следующим образом: ρ =

L

. Характеристическое сопротивление ρ

 

 

C

является количественной мерой оценки энергии, запасенной реактивными элементами

контура катушкой (энергия магнитного поля W

=

LI 2

) и конденсатором (энергия

 

 

 

L

2

 

 

 

 

 

электрического поля W =

CU 2

). Отношение

энергии, запасенной за период

 

C

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

реактивными элементами контура, к энергии омических (резистивных) потерь принято

называть добротностью Q контура. Величину, обратную добротности δ = Q-1, называют затуханием контура. Для определения добротности обычно пользуются формулой Q =

ρ/R, где R – активное сопротивление контура, характеризующее мощность резистивных

4

(активных) потерь контура Р = I2R. Добротность реальных колебательных контуров,

выполненных на дискретных катушках индуктивности и конденсаторах, составляет от нескольких единиц до сотни и более. Добротность различных колебательных систем,

построенных на принципе пьезоэлектрических и других эффектов (например,

кварцевые резонаторы) может достигать нескольких тысяч и более.

Частотные свойства различных цепей в технике принято оценивать с помощью амплитудно-частотных характеристик (АЧХ).

 

На рис. 17.3 представлен простейший

 

четырехполюсник,

(частотный

фильтр),

 

содержащий последовательный колебательный

 

контур.

Такая

цепь

характеризуется

Рис. 17.3. Простейший частотный

 

 

 

 

 

фильтр.

коэффициентом передачи

К

отношение

входных параметров системы к выходным. При резонансе в цепи, изображенной на рис. 17.3, источник входного сигнала оказывается фактически замкнутым накоротко малым сопротивлением контура, благодаря чему коэффициент передачи такой цепи по напряжению на резонансной частоте падает практически до нуля, а коэффициент передачи по току достигает максимума. При частотах входного воздействия,

значительно отстоящих от резонансной, коэффициент передачи цепи оказывается близким к нулю по току и близкой к единице по напряжению.

Рис. 17.4. Амплитудно-частотная характеристика последовательного колебательного контура (K = KI)

Рис. 17.5. Амплитудно-частотная характеристика последовательного колебательного контура (K = KU)

5

АЧХ этой цепи приведены на рис. 17.4 по вертикальной оси отложена величина коэффициента передачи цепи по току КI, показывающая отношение выходного тока

цепи к входному. А на рис. 17.5 по вертикальной оси отложена величина коэффициента передачи цепи по напряжению КU показывающая отношение выходного напряжения

цепи к входному. Для пассивных цепей (т.е. цепей, не содержащих усилительных элементов и источников энергии), величина К никогда не превышает единицу.

Свойство колебательного контура в значительной степени изменять коэффициент передачи на частотах, близких к резонансной, широко используется на практике, когда требуется выделить сигнал с конкретной частотой из множества ненужных сигналов, имеющих другую частоту. Так, в любом радиоприемнике при помощи колебательного контура обеспечивается настройка на частоту нужной радиостанции.

Колебательный контур, которой имеет такую же резонансную частоту, как и для случая рассмотренного выше, но обладающий меньшей добротностью (увеличено сопротивление цепи по постоянному току) имеет более широкую полосу пропускания цепи; его селективные (избирательные) свойства ухудшаются. Это может быть полезным при необходимости избежать искажений широкополосных сигналов.

Свойство колебательного контура выделять из множества частот лишь некоторые принято называть селективностью или избирательностью. При этом интенсивность изменения коэффициента передачи цепи при отстройке частоты воздействия от резонанса принято оценивать при помощи параметра, называемого

полосой пропускания. Чаще всего за полосу пропускания принимается диапазон

частот, на границах которого амплитуда тока снижается до уровня 1 (~0,707) от

2

резонансного значения.

Рис. 17.6 Параллельный колебательный контур

6

Параллельный колебательный RLC-контур. В различных радиотехнических устройствах наряду с последовательными колебательными контурами часто (чаще, чем последовательные) применяют параллельные колебательные контуры.

На рис. 17.6 приведена принципиальная схема параллельного колебательного контура.

Здесь параллельно включены индуктивность и емкость. Как известно, при параллельном включении складываются не сопротивления, а

их проводимости (величины обратные сопротивлению). На рис. 17.7 приведены графические зависимости реактивных

проводимостей катушки индуктивности

j

=

1

, конденсатора j/ZC = – ωC и

Z

 

 

 

ωL

суммарной проводимости j/ZΣ, этих двух элементов, являющейся реактивной

проводимостью параллельного колебательного контура.

 

 

Аналогично, как и в случае

 

последовательного

колебательного

 

контура, имеется некоторая частота,

 

называемая резонансной, на которой

 

реактивные сопротивления (а значит и

 

проводимости) катушки и конденсатора

 

одинаковы. На этой частоте суммарная

 

проводимость

параллельного

Рис. 17.7. Зависимости реактивных

колебательного контура

без потерь

проводимостей катушки и конденсатора

 

 

и суммарная проводимость этих двух

обращается в нуль. Это значит, что на этой

элементов

 

 

частоте колебательный контур обладает бесконечным сопротивлением по переменному току. Сопротивление реального параллельного колебательного RLC-контура (т.е с потерями), разумеется, не равно бесконечности оно тем меньше, чем больше

7

омическое сопротивление контура, и уменьшается обратно пропорционально добротности контура. В целом, физический смысл понятий добротности,

характеристического сопротивления и резонансной частоты колебательного контура, а

также их расчетные формулы, справедливы как для последовательного, так и для параллельного колебательного контура.

Рассмотрим цепь, состоящую из генератора гармонических колебаний и параллельного колебательного контура. В случае, когда частота колебаний генератора совпадает с резонансной частотой контура его индуктивная и емкостная ветви оказывают равное сопротивление переменному току, вследствие чего токи в ветвях контура будут одинаковыми, но протекающими в противоположных направлениях. В

результате падение напряжения на параллельном колебательном контуре будет близко к нулю. В этом случае говорят, что имеет место резонанс токов. Как и в случае последовательного колебательного контура, реактивные сопротивления индуктивности и конденсатора компенсируют друг друга, и сопротивление контура протекающему через него току становится чисто активным (резистивным). Величина этого сопротивления, часто называемого в технике эквивалентным, определяется произведением добротности контура на его характеристическое сопротивление Rэкв =

Qρ. На частотах, отличных от резонансной, сопротивление контура уменьшается и приобретает на более низких частотах индуктивный характер (поскольку реактивное сопротивление индуктивности падает при уменьшении частоты), а на более высоких емкостной (т. к. реактивное сопротивление емкости падает с ростом частоты). В

процессе работы контура, дважды за период колебаний, происходит энергетический обмен между индуктивностью и конденсатором. Энергия поочередно накапливается то в виде энергии электрического поля заряженного конденсатора, то в виде энергии магнитного поля катушки индуктивности. При этом в контуре протекает собственный контурный ток Iк, превосходящий по величине ток во внешней цепи I в Q раз. В случае

8

идеального контура (без потерь), добротность которого теоретически бесконечна,

величина контурного тока также будет бесконечно большой.

Рассмотрим, как изменяются коэффициенты передачи четырехполюсников, от частоты, при включении в них не последовательных колебательных контуров, а

параллельных. Четырехполюсник, изображенный на рис. 17.6, представляет собой очень большое сопротивление и практически все входное напряжение поступит на выходные клеммы (т.е. коэффициент передачи будет максимален и близок к единице).

При значительном отличии частоты входного воздействия от резонансной частоты контура, источник сигнала, подключаемый к входным клеммам четырехполюсника,

окажется практически закороченном накоротко, а коэффициент передачи будет близок к нулю. АЧХ такого четырехполюсника по напряжению соответствует изображенной на рис. 17.4.

На резонансной частоте контур представляет собой огромное сопротивление току, поэтому при ω = ωр его коэффициент передачи будет близок к нулю (с учетом

омических потерь). На частотах, отличных от резонансной, сопротивление контура будет уменьшатся, а коэффициент передачи четырехполюсника - возрастать. Этот случай соответствует графику АЧХ, приведенному на рассмотренном ранее рис. 17.5.

Описание экспериментальной установки

Общий вид экспериментальной установки приведен на рис. 17.8.

9

Рис. 17.8. Общий вид установки для изучения явлений резонанса в RLC-контуре: 1-источник питания; 2-информационный кабель; 3-коммуникационная коробка; 4-

катушка индуктивности (300 витков).

Последовательный колебательный RLC-контур.

Соберите схему установки как показано на рис 17.9. Подсоедините универсальный блок Cobra 3 к USB порту компьютера. Запустите программу для проведения измерений и выберите Универсальный самописец системы Cobra 3.

Рис. 17.9. Измерение резонансной частоты в последовательном RLC-контуре.

На рис. 17.9 изображена упрощенная схема последовательного резонансного контура (С = 0,1 мкФ), где Ri обозначает внутреннее сопротивление резонансного контура

функционального преобразователя, RI сопротивление потерь резонансного контура, Rc =

47 Ом сопротивление связи, а Rd - гасящее сопротивление.

Для построения кривой резонанса токов или напряжений при помощи установки

Cobra 3 измеряются напряжение или сила тока по всему контуру, лежащие в частотном диапазоне для разных сопротивлений: Rd = 0 Ом, 10 Ом, 47 Ом.

Для измерения амплитуды напряжения и тока используется режим «Исследуемой функции» программы «Measure» (см. рис. 17.10).

10

Рис. 17.10. Измерение амплитуды напряжения и тока при помощи «Исследуемой функции»

Данные для общего тока и напряжения, полученные в результате измерения,

представлены в виде функции частоты в последовательном резонансном контуре (рис.

17.11 и 17.12).

Рис. 17.11. Зависимость общего тока контура от частоты в последовательном резонансном контуре. Представлены кривые, полученные при разных резисторах (сверху вниз): Rd = 0

Ом, 10 Ом, 47 Ом.

Зависимость общего сопротивления

Рис. 17.12. Зависимость общего напряжения от частоты в последовательном резонансном контуре. Представлены кривые, полученные при применении разных резисторов (сверху вниз): Rd = 0 Ом, 10 Ом, 47 Ом.

от частоты Rtot = Ri + Rd + RL

рассчитывается на основе значений силы тока и напряжения. Сложив проводимости

всех элементов, получим:

U =

 

 

 

 

 

 

I0

 

 

.

(17.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

1

+

1

+

1

)2 + (ωC

1

)2

 

 

R

R

 

 

 

 

 

 

 

 

R

ωL

 

 

 

 

L

 

i

 

d

 

 

 

 

Резонанс возникает при условии, что

Соседние файлы в папке Лабораторные