АиГ / Выдать_студентам / ТИПОВЫЕ_ЗАДАЧИ_ЭКЗАМЕНА

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ЭКЗАМЕНА

Уважаемый г. Студент! Вам предлагается набор задач, охватывающий разделы курса «Алгебра и геометрия» в объеме, предусмотренном учебной программой большинства специальностей факультета ИСТ. Подобные задачи будут включены в экзаменационные билеты, поэтому необходимо уметь их решать.

Раздел 1. Комплексные числа

1. Дать геометрическое описание множества точек, удовлетворяющих неравенству .

2. Вычислить и , если .

3. Вычислить .

4. Найти корни уравнения . Раздел 2. Элементы векторной алгебры

5. Вектор образует с координатными осями углы , вектор - углы . Найти угол между векторами и .

6. Найти угол между векторами , если , угол между равен .

7. Найти величину острого угла параллелограмма , если две его вершины и точка пересечения диагоналей .

8. Точками и отрезок разделен на три равные части. Найти , если .

9. На векторах построен параллелограмм. Найти длины его диагоналей, если , угол между и равен .

10. Найти направляющие косинусы вектора , если .

11. Зная, что , найти .

12. Найти площадь треугольника , если

13. Найти объем пирамиды с вершинами в точках . Раздел 3. Элементы аналитической геометрии

14. В параллелограмме известны координаты вершин и точка пересечения диагоналей . Найти уравнения его сторон.

15. Найти точку, симметричную точке относительно прямой .

16. В треугольнике известны координаты двух вершин и точка пересечения высот . Найти координаты вершины .

17. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: , и точка пересечения диагоналей . Найти уравнения двух других сторон.

18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам .

19. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой .

20. Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки .

21. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярно плоскости .

22. Найти проекцию точки на плоскость .

23. Найти точку, симметричную точке относительно плоскости .

24. Найти проекцию точки на прямую .

25. Найти расстояние от точки до прямой .

26. Найти точку, симметричную точке относительно прямой .

27. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую .

28. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости .

29. Доказать, что прямые: и лежат в одной плоскости. Составить уравнение этой плоскости.

30. Найти расстояние между прямыми и .

31. Прямая проецируется на плоскость . Найти уравнение проекции.

32. Кривая задана уравнением: . Определить ее тип, найти эксцентриситет и уравнения директрис.

33. Кривая задана уравнением . Определить ее тип, найти эксцентриситет и уравнения директрис.

34. Составить уравнение эллипса, зная, что его фокусы , эксцентриситет . Составить уравнения директрис.

35. Составить уравнение гиперболы, зная ее фокусы и эксцентриситет . Раздел 4. Матрицы и системы уравнений

36. Найти ранг матрицы .

37. Решить систему методом Крамера

38. Решить систему методом обратной матрицы .

39. Решить систему уравнений .

40. Решить систему уравнений

Раздел 5. Линейные векторные пространства

41. Даны множества . Найдите множества .

42. Проверить, будет ли линейно независимой следующая система элементов: на ?

43. Проверить, будет ли линейно независимой следующая система элементов: на ?

44. Найдите ранг системы элементов .

45. Определить размерность линейной оболочки элементов .

46. Определить размерность линейной оболочки векторов .

47. Определить базис и размерность пространства решений системы

48. Доказать, что в пространстве элементы образуют базис. Разложить элемент по этому базису.

49. Пусть пространство многочленов не выше второй степени. Доказать, что многочлены: образуют базис в . Разложить элемент по этому базису.

50. Найти координаты вектора в базисе , если , .

51. Пусть пространство многочленов не выше второй степени. Найти матрицу перехода от базиса: к базису: . Разложить элемент по базису .

52. В пространстве базис получается из поворотом вокруг вектора на угол против хода часовой стрелки. Найти матрицу перехода от к .

53. Доказать, что в пространстве элементы образуют базис. Провести ортогонализацию по этого базиса.

54. Построить ортогональный базис линейной оболочки элементов .

55. Пусть линейная оболочка, натянутая на элементы . Для элемента найти его ортогональную проекцию на подпространство и ортогональное дополнение.

56. Пусть . Доказать линейность оператора в пространстве и найти его матрицу в каноническом базисе.

57. Доказать, что в пространстве оператор , где , является линейным. Найти его ранг, ядро и дефект.

58. Пусть . Доказать линейность оператора в пространстве . Найти его ранг, ядро и дефект.

59. В пространстве оператор осуществляет поворот вектора вокруг оси на угол . Найти матрицу оператора в каноническом базисе.

60. В пространстве задан оператор сдвига: , если . Найти матрицу этого оператора в каноническом базисе.

61. Пусть пространство многочленов не выше третьей степени. В задан оператор . Найти матрицу оператора в базисе .

62. В пространстве оператор осуществляет ортогональное проектирование вектора на линейную оболочку векторов , . Найти матрицу оператора в каноническом базисе.

63. В пространстве заданы операторы , . Найти .

64. Оператор в базисе. имеет матрицу. Найти матрицу оператора в базисе .

65. Линейный оператор в каноническом базисе имеет матрицу . Найти матрицу оператора в базисе , .

66. Докажите, что оператор , где , имеет обратный . Найдите явный вид оператора .

67. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

68. Привести к каноническому виду квадратичную форму: . Какую замену переменных нужно сделать при этом?

69. Определить тип линии и найти ее центр: .

70. Привести к каноническому виду квадратичную форму: . Какую замену переменных нужно сделать при этом?

71. Используя теорию квадратичных форм, определить тип поверхности, заданной уравнением .