3. Содержание дисциплины

3.1. Лекционный курс

Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания с повторениями и без повторений, их число. Бином Ньютона

Функциональные системы с операциями

Алгебра логики. Функции алгебры логики. Формулы. Реализация функций формулами, эквивалентность формул. Свойства эквивалентных функций. Разложение функций алгебры логики по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма. Совершенная конъюнктивная нормальная форма. Интервалы и покрытия. Таблица покрытия. Метод Блейка-Порецкого получения тупиковой дизъюнктивной нормальной формы. Полнота и замкнутость. Примеры полных систем. Важнейшие замкнутые классы: монотонных функций, линейных функций, самодвойственных функций, функций, сохраняющих 1(0). Функциональная полнота в слабом смысле. Первая теорема о функциональной полноте. Теорема Поста о полноте в сильном смысле.

Алгебра высказываний. Алгебра предикатов. Определения, примеры. Операции над предикатами, кванторы. Равносильные формулы логики предикатов. Тождественно-истинные и тождественно-ложные формулы. Методы доказательства тождественной истинности формул. Префиксная нормальная форма.

Некоторые приближения к математической кибернетике

Схемы из функциональных элементов в базисе: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание.

Примеры построения схем из функциональных элементов. Двоичный сумматор.

Некоторые важные дискретные структуры

Графы и сети. Основные понятия теории графов. Типы и способы задания графов. Изоморфизм, связность. Локальные степени вершин графов. Части графов, операции над частями графов. Расстояние, диаметр, центр. Задачи об обходах. Эйлеров, гамильтонов граф. Деревья и их свойства. Характеристические числа графов: цикломатическое число, число внутренней устойчивости, число внешней устойчивости.

Вычислимые функции. Машины Тьюринга. Операции над машинами Тьюринга. Вычислимые функции. Операции суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации. Рекурсивные функции. Их связь с классом вычислимых функций. Тезис Тьюринга.

Ограниченно детерминированные (автоматные) функции. Определение детерминированной функции. Определение ограниченно-детерминированной функции. Построение дерева детерминированной функции. Представление о.-д. функции с помощью диаграммы Мура. Канонические уравнения. Операции над ограниченно детерминированными функциями. Примеры полных систем.

Коды. Проблематика теории кодирования. Алфавитное кодирование. Критерий однозначности декодирования. Помехоустойчивое кодирование. Коды Фано, Хаффмена. Код Хемминга. Метод кодирования Хемминга.

Практические занятия Первый семестр изучения дисциплины

Занятие 1. Нахождение числа перестановок, размещений, сочетаний.

1. Пятеро учеников сдали экзамены. Сколькими способами им могут быть поставлены отметки, если известно, что никто из них не получил неудовлетворительной отметки (то есть двойки и единицы)?

2. Имеется три волчка с 7, 9 и 15 граням соответственно. Сколькими различными способами они могут упасть? Сколько способов выпадения, если, по крайней мере, один волчок упал на сторону помеченную “2”?

3. Семеро туристов выходят из автобуса и выстраиваются в очередь в кафетерий. Сколькими способами это может произойти? Сколько способов очереди, если сначала очереди составилась из 5 определенных человек, а двое других присоединились к ним через некоторое время?

4. Сколькими способами можно составить из 30 букв русского алфавита шестибуквенное слово, содержащее хотя бы одну букву “ a”?

5. Из спортивного клуба, насчитывающего 30 членов, надо составить команду из 4-х человек для участия в эстафете на 1000 м по этапам 100+200+300+400. Сколькими способами это можно сделать?

6. Имеется 6 учебников по литературе и 4- по русскому языку. Сколькими способами их можно разделить на две группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы по 1 учебнику по литературе?

7. Сколько чисел меньше миллиона можно написать с помощью цифр:

а) 9,8,7;

б) 9,8,0 (цифра “0” не должна быть первой)?

8. В профком избрано 7 человек. Из нужно выбрать председателя, зам. председателя, и куратора по спортивной работе. Сколькими способами это можно сделать?

9. Сколько можно составить различных пятизначных чисел, делящихся на 5 и не содержащих цифры “ 0 “, если каждая цифра в записи числа может встречаться несколько раз?

Занятие 2. Задание функций алгебры логики таблицами и формулами. Разложение по переменным, приведение к СДНФ и СКНФ.

1. Записать вектор-столбец функции, заданной формулой:

1. ;

2. _;

3. _;

4. _;

5. _;

6. _;

7. _.

2. Разложить

1. по переменной х функцию ;

2. по переменной у функцию ;

3. по переменной z функцию ;

4. по переменным х и у функцию ;

5. по переменным х и z функцию ;

6. по переменным у и z функцию ;

7. по переменным х, у и z функцию . Вывести правило получения совершенной дизъюнктивной нормальной формы из вектор-столбца.

Занятие 3. Эквивалентные преобразования, получение ДНФ и КНФ с помощью эквивалентных преобразований и из вектор-столбца. Переход от ДНФ к КНФ.

1. Упростить формулу с помощью эквивалентных преобразований. Получить дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ). Привести формулу к СДНФ путем расщепления.

1. ;

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

2. Перейти от ДНФ к конъюнктивной нормальной форме (КНФ). Построить СКНФ (совершенную конъюнктивную нормальную форму) путем перехода от ДНФ к КНФ и из вектор-столбца.

1. ;

2. ;

3. .

Занятие 4. Импликанты и покрытия. Метод Блейка-Порецкого получения сокращенной ДНФ функции.

1. Проверить, будут ли для функции импликантами конъюнкции и . Если это импликанты, то определить простые ли они.

1. 

; .

2. 

; .

2. Проверить, будут ли простыми импликантами конъюнкции следующей ДНФ:

.

3. Проверить с помощью таблицы покрытия, нет ли лишних импликантов среди конъюнкций следующей ДНФ:

1. ;

2. .

1. Получить сокращенную ДНФ функции методом Блейка-Порецкого.Из сокращенной ДНФ получить тупиковую ДНФ с помощью таблицы покрытия.

   1. ;

   2. ;

   3. ;

   4. .

Занятие 5. Алгебра Жегалкина, класс линейных функций. Двойстенность, класс самодвойственных функций.

1. Привести функцию к полиному Жегалкина. Проверить, обладает ли она свойством линейности.

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

2. Пользуясь леммой о нелинейных функциях получить из конъюнкцию и дизъюнкцию.

1. ;

2. ;

3. .

3. Получить функцию, двойственную к . Воспользоваться определением двойственной функции и принципом двойственности. Выяснить, является ли функция самодвойственной.

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Занятие 6. Определение функциональной полноты систем. Монотонные функции. Функции сохраняющие 1(0). Определение функциональной полноты с помощью теоремы Поста.

1. Проверить функциональную полноту системы логических функций. Построить таблицу Поста, сделать вывод.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

2. Система состоит из одной логической функции, заданной своим вектор-столбцом. Построить таблицу Поста и сделать вывод о функциональной полноте данной системы.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Занятие 7. Логика предикатов.

1. Указать значения выражений, которые получаются при навешивании кванторов на переменные предиката:

1. P(x, y) : “ x<y”, заданный на множестве натуральных чисел.

1. P(x, y) : “x делится на y”, заданный на множестве натуральных чисел.

2. P(x, y) : “x и y одновременно четные числа”, заданный на множестве натуральных чисел.

3. P(x, y) : “x является родителем y”, заданный на множестве людей.

4. P(x, y) : “x является братом y”, заданный на множестве людей.

5. P(x, y) : “x живет в одной квартире с y”, заданный на множестве людей.

6. P(x, y) : “x и y лежат на одинаковом расстоянии от начала координат”, заданный на множестве точек декартовой плоскости.

7. P(x, y) : “x и y лежат на одинаковом расстоянии от оси ОХ”, заданный на множестве точек декартовой плоскости.

2. Пусть на множестве М= предикат P(x, y) задан таблицей.

х	у	Р (х, у)
а	а	0
a	b	1
a	c	1
b	a	0
b	b	1
b	c	1
c	a	0
c	b	1
c	c	1

Навесить кванторы на его переменные всеми возможными способами и определить значения получившихся предикатных формул.

3. Проверить тождественную истинность следующих предикатных формул:

1. ;

2. ;

1. ;

3. .

4. Получить префиксную нормальную форму следующих предикатных формул:

1. ;

2. ;

3. .

Занятие 8. Построение схем переключателей и схем их функциональных элементов.

1. Центральная система теплоснабжения небольшого дома контролируется термостатами, каждый из которых расположен в одной из комнат. Каждый термостат срабатывает, если температура меньше 15 градусов Цельсия. В целях экономии центральный нагреватель включается только в том случае, если, по меньшей мере, в двух комнатах температура меньше 15 градусов. В противном случае, центральный нагреватель отключен. Изобразить схему их функциональных элементов, управляющую системой теплоснабжения.

2. Простая охранная система состоит из центрального переключателя и двух сенсоров. Когда центральный переключатель включен и один либо оба сенсора активизированы движением в комнате, в которой они расположены, начинает звонить звонок, пока центральный переключатель не будет выключен. Если центральный переключатель не включен, то звонок не будет звенеть независимо от состояния сенсоров. Изобразить схему их функциональных элементов, управляющую системой охранной сигнализации.

3. Записать формулу логической функции, соответствующую приведенной схеме из функциональных элементов

2. Построить схему из функциональных элементов, соответствующую функции, заданной своей булевой формулой.

1. ;

2. .