Тема 3 Функция распределения вероятностей как универсальная характеристика случайной величины (св). Плотность распределения вероятностей непрерывной св

Практическое занятие включает:

- изучение свойств функции распределения и функции плотности распределения вероятностей случайной величины;

- использование свойств этих функций для нахождения числовых характеристик СВ, а также вероятности попадания СВ в заданный интервал.

Вопросы

1. Дайте определение функции распределения случайной величины. Перечислите свойства этой функции.

2. Как с помощью функции распределения вычисляется вероятность того, что случайная величинапримет значение, заключенное в интервале?

3. Запишите формулу для определения функции распределения дискретной случайной величины. Является ли в этом случае функция распределения непрерывной.

4. Дайте определение плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Перечислите основные свойства этой функции.

5. Что называют кривой распределения?

6. Объясните, как с помощью плотности распределения найти вероятность попадания случайной величины в интервал .

7. Как определяются числовые характеристики непрерывной случайной величины ,,?

Примеры

Пример 1. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 2 детали. Найти функцию распределения дискретной случайной величины, равной числу стандартных изделий в выборке.

Решение. Найдем ряд распределения данной случайной величины . Эта величина может принимать три значения:,,. Вычислим вероятности этих значений:

,

,

.

Следовательно, закон распределения данной случайной величины можно задать рядом распределения.

	0	1	2

В соответствии с формулой , где символозначает, что суммируются вероятности тех значений, которые меньше, строим функцию распределения.

1. При .

2. При .

3. При .

4. При .

Пример 2. Случайная величина задана функцией распределения

Найти плотность распределения величины . Вычислить вероятность того, что случайная величинапримет значения из интервала.

Решение. Плотность вероятности и функция распределения случайной величины связаны соотношением.

Следовательно,

По формуле находим искомую вероятность

.

Пример 3. Найти функцию распределения случайной величины , плотность вероятности которой определена формулой

.

Решение. Применяя формулу , получаем

.

Пример 4. Плотность распределения вероятностей СВ задана функцией

Найти математическое ожидание СВ .

Решение. По формуле МО непрерывной случайной величины

.

Пример 5. Найти математическое ожидание случайной величины , если известна функция распределения этой величины

Решение. Найдем сначала плотность распределения вероятностей этой величины.

Следовательно,

.

Пример 6. Случайная величина в интервалезадана плотностью распределения; вне этого интервала. Найти дисперсию СВ.

Решение. Найдем дисперсию по формуле

.

Подставив сюда (кривая распределения симметрична относительно прямой,, получим

.

Дважды интегрируя по частям, найдем

.

Окончательно получим

.

Задачи

1. Закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

	6	8	12	15
	0,1		0,5	0,25

Найти функцию распределения этой случайной величины.

Определить вероятность того, что .

2. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью:

Найти функцию распределения и вероятность попадания величины на участок от 0 до.

3. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением

Найти выражение плотности вероятности величины , а также вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний случайная величинаровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).

4. График плотности распределения вероятностей случайной величины представлен на рис. Найти функцию распределенияи построить ее график.

5. Являются ли функциями распределения некоторой случайной величины следующие функции:

а) b)

с) d)

6. Найти значение функции распределения случайной величины , плотность вероятности которой определяется формулой (Закон Коши)

, если .

7. Найти числовые характеристики ,,, если функция распределения случайной величины

8. Непрерывная случайная величина подчинена закону распределения с плотностью(распределение Лапласа).

Определить МО, дисперсию и СКО случайной величины .