Тема 11 Стационарные случайные функции (ссф)

Понятие стационарного случайного процесса. Характеристики стационарной случайной функции. Спектральная плотность ССФ. Эргодическое свойство ССФ.

Практическое занятие включает:

- рассмотрение на примерах свойств ССФ;

- определение КФ и спектральной плотности ССФ;

- рассмотрение свойств стационарного белого шума.

Вопросы

1. Понятие о стационарном случайном процессе.

2. Что называется стационарной случайной функцией (ССФ)?

3. Перечислите свойства корреляционной функции стационарной случайной функции.

4. Какой вид имеет поверхность корреляционной функции стационарной случайной функции в координатах ?

5. Чему равна корреляционная функция производной дифференцируемой ССФ Х(t)?

6. Какими формулами определяются корреляционная функция и дисперсия интеграла от ССФ?

7. Понятие спектра колебательного процесса.

8. Что называется спектральной плотностью стационарной случайной функции? Какими взаимно обратными преобразованиями связаны функция спектральной плотности и корреляционная функция?

9. Понятие нормированной спектральной плотности ССФ.

10. При каком условии две случайные функции называются стационарно связанными?

11. Что такое белый шум?

12. Понятие марковского случайного процесса.

13. В чём состоит эргодическое свойство стационарных случайных функций?

Примеры

Пояснение. Стационарно связанными называются две случайные функции X(t) и Y(t), взаимная корреляционная функция которых зависит только от разности аргументов :.

Не всякие две стационарные функции стационарно связаны; две нестационарные функции могут быть стационарно связанными.

Пример 1. Задана случайная функция , где- случайная величина, распределенная равномерно в интервале.

Доказать, что - стационарная функция.

Решение.

.

По формуле МО непрерывной случайной величины имеем:

,

т.е. .

По формуле КФ случайной функции (см. Тему 10), учитывая, что

,

имеем

или

МО второго слагаемого равно нулю, поэтому окончательно

.

Таким образом, МО функции постоянно при всех значениях аргумента, а КФ зависит только от разности аргументов.

Следовательно, - стационарная случайная функция.

Пример 2. Заданы две ССФ: и, где- случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,2).

Доказать, что заданные функции стационарно связаны.

Решение. В соответствии с решением предыдущего примера .

По формуле взаимной КФ двух СФ и. (см. пример 2, Тема 10) имеем.

МО второго слагаемого равно нулю, поэтому окончательно .

Так как взаимная КФ зависит только от разности аргументов, то функции X(t) и Y(t) являются стационарно связанными.

Пример 3. Нормированная спектральная плотность нормслучайной функцииX(t) постоянна в интервале частот ,и равна нулю вне этого интервала.

Определить нормированную корреляционную функцию случайной функции X(t).

Решение. Значение нормприопределяется из условия, что площадь, ограниченная кривойнормприопределяется из условия, что площадь, ограниченная кривойнорм, рана единице.

норм

Далее по формуле Винера – Хинчиа (в действительной форме) определяем нормированную КФ случайной функцииX(t):

.

Общие виды функцийипредставлены на рис.1 и рис. 2. Конкретные виды графиков зависят от значений,.

В пределе при т.е. приспектр случайной функции обращается в дискретный с одной единственной линией, соответствующей частоте; при этом корреляционная функция обращается в обычную косинусоиду:.

Замечание. При дискретном спектре с одной линией спектральное разложение ССФ имеет вид:, гдеи- некоррелированные случайные величины с МО, равными нулю, и равными дисперсиями:.

Пример 4. Найти спектральную плотность, ССФ , если задана её корреляционная функция.

Решение. По формуле спектральной плоскости ССФ

имеем

.

Общие виды функций ипредставлены на рис. 3 и 4.

При уменьшении корреляционная функция будет убывать медленнее; характер изменения случайной функции становится более плавным, в спектре больший «удельной вес» приобретают малые частоты: кривая спектральной плотности вытягивается вверх, сжимаясь с боков; в пределе прислучайная функция выродится в обычную случайную величину с дискретным спектром, состоящим из единственной линии с частотой.

При увеличении корреляционная функция убывает быстрее, колебания случайной функции становятся более резкими и беспорядочными; в спектре преобладание малых частот становится все менее выраженным; в пределе приспектр случайной функции приближается к равномерному, так называемому белому спектру, в котором нет преобладания каких – либо частот.

Пример 5. Найти корреляционную функцию стационарного белого шума – стационарной случайной функции с постоянной спектральной плотностью .

Решение. По формуле Винера – Хинчина

.

Учитывая, что , где-дельта функция,

имеем .

Тогда окончательно .

Пояснение. Формально дельта – функцией называется такая функция, которая равна бесконечности, когда её аргумент равен нулю, и равна нулю при остальных значениях аргумента, причем интеграл от дельта – функции, распространенный на сколь угодно малый отрезок, включающий особую точку, равен единице.

Задачи

1. Найти дисперсию ССФ , зная её спектральную плотность.

2. Найти спектральную плотность ССФ , зная её КФпри; КФ равна нулю при.

Тема 12

Стационарные случайные функции(ССФ)

Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной системой.

Практическое занятие включает:

- определение МО, спектральной плотности и дисперсии ССФ на выходе стационарной линейной системы в установившемся режиме.

Вопросы

1. Дайте определение линейного однородного оператора динамической системы. Перечислите его свойства.

2. Приведите примеры линейных однородных операторов.

3. Дайте характеристику стационарной линейной динамической системы.

4. Что называется передаточной функцией и частотной характеристикой линейной динамической системы?

5. Напишите соотношение, связывающее входную и выходную функции спектральной плотности линейной динамической системы.

Примеры

Пример 1. На вход линейной стационарной динамической системы описываемой уравнением , подается ССФс. Найти МОна выходе системы в установившемся режиме (после затухания переходного процесса).

Решение. , или

.

Так как X(t) и Y(t) – стационарные функции, а МО производной стационарной функции равно нулю, то 2 , откуда.

Пример 2. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением , подается ССФс. Найти дисперсию случайной функциина выходе системы в установившемся режиме.

Решение. 1). Используя решение примера 4 предыдущего занятия при и, получим.

2). Для нахождения передаточной функции запишем заданное дифференциальное уравнение в операторной форме: , или,

Следовательно, передаточная функция .

3). Частотная характеристика системы получается из передаточной функции при :.

4). Спектральная плотность на выходе системы определяется по формуле

.

5). Искомая дисперсия находится по формуле

.

Представив подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, имеем

.

Задачи

1. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением , подается ССФс математическим ожиданием. Найти МО случайной функциина выходе системы в установившемся режиме.

2. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением , поступает ССФс постоянной спектральной плотностью(белый шум).

Найти дисперсию случайной функции на выходе системы в установившемся режиме.

3. На вход линейной стационарной динамической системы с передаточной функцией поступает ССФ Х со спектральной плотностью. Найти дисперсию случайной функциина выходе системы в установившемся режиме.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

1. .	8. .
2. ,.	9. .
3. .	10.
4. .	11. .
5. .	12. .
6. .	13. .
7. .	14. .