Условие разрешимости системы
= 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, …= 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, …
|
Вспомогательные соотношения |
|
|||
|
= |
m m , |
где |
m = 0, 1, |
2, ... |
|
= |
( + 1), |
где |
= 0, 1, 2, ... |
|
m
n
—магнитное квантовое число
—орбитальное квантовое число
—главное квантовое число (номер решения)
Ψ(r, , ) = R(r) • Θ( ) • Φ( )
Ψ(n, , m) = R(n, ) • Θ( , m) • Φ(m)
Ψ(r, , ) |
= R(r) • Y( , ) |
«шаровые» |
|
Ψ(n, , m) |
= R(n, ) • Y( , m) |
||
функции |
|
|
Ф-функции |
Ф = |
1 |
e im |
m |
2 |
{ m = 0, 1, 2, … } |
|
|
Θ-функции |
{ ≥ | m | } |
Θ |
= |
2 + 1 |
( – | m |)! |
——— |
————— |
||
|m| |
|
2 |
( + | m |)! |
Нормировочный
множитель
P | m |(cos θ)
Присоединенный полином Лежандра степени и порядка |m|
Θ0, 0 |
= 1 |
Θ2, |
0 |
= (3 cos2 θ – 1) |
Θ1, 0 |
= cos θ |
Θ2, |
|1| |
= sin θ cos θ |
Θ |
= sin θ |
Θ |
|2| |
= sin2 θ |
1, |1| |
|
2, |
|
|
|
|
|
R-функции |
|
|
{ n > } |
||
R |
= |
2Z |
3 (n – – 1)! |
2ρ |
2 + 1 |
|
|||
—– |
————–3 |
e–ρ/n — |
L |
n + |
(2ρ/n) |
||||
n |
|
nao |
2n[(n + )!] |
n |
|
|
|||
|
|
Нормировочный |
Присоединенный |
||||||
|
|
множитель |
полином Лаггера |
||||||
ρ = (Z/ao) r |
ао = |
4 o 2/ e2 |
|
0,053 нм |
|||||
R10 = e–ρ |
|
|
R30 = e–ρ/3 (27 – 18ρ + 2ρ2) |
||||||
R = e –ρ/2 |
(2 – ρ) |
R = e–ρ/3 (6ρ – ρ2) |
|||||||
20 |
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
R = e –ρ/2 |
ρ |
R32 = e–ρ/3 ρ2 |
|
|
|||||
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полный набор |
{ ≥ | m | } |
|||
стационарных состояний |
{ n > } |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
|
= 0 |
|
|
m = 0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
n = 2 |
|
= 0 |
|
|
m = 0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
= 1 |
|
|
m = –1 0 |
+1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
n = 3 |
= 0 |
||
|
= |
1 |
|
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
= |
2 |
|
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
m = 0
m = –1 0 +1
m = –2 –1 0 +1 +2
Ψ100
Ψ200
Ψ21–1 Ψ210 Ψ21+1
Ψ300
Ψ31–1 Ψ310 Ψ31+1
Ψ32–2 Ψ32–1 Ψ320 Ψ32+1 Ψ32+2
|
|
|
|
n |
|
||
|
|
Номенклатура |
|
|
|||
Значение |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
||
Символ |
s |
p |
d |
f |
g |
||
Ψ100 |
= 1so |
|
|
|
|
|
|
Ψ200 |
= 2so |
Ψ210 |
= 2po |
|
Ψ21–1 = 2p–1 |
||
Ψ300 |
= 3so |
Ψ310 |
= 3po |
|
Ψ31–1 = 3p–1 |
||
|
|
Ψ320 = 3do |
|
Ψ32–1 = 3d–1 |
|||
|
|
Ψ322 = 3d2 |
|
Ψ32–2 = 3d–2 |
|||
m
5 |
… |
|
|
h |
… |
|
Ψ211 = 2p1
Ψ311 = 3p1
Ψ321 = 3d1
Суперпозиционные состояния
Ψn = C–m Ψn ,–m + … + C+m Ψn ,+m
Квантовые числа n и определяют пространство состояний { Ψn } с размерностью 2 + 1
Все состояния в таком пространстве характеризуются одним и тем же значением энергии и момента импульса:
E = const |
| L | = const |
При этом, однако ориентация вектора момента может быть любой:
Lz = ???
В пустом пространстве все направления равноправны
Ψn |
= C–m Ψn ,–m |
+ … + C+m Ψn ,+m |
||
|
|
|
|
|
(n, )- |
|
оболочка |
базис |
|
|
||||
( состояния с определенной ориентацией вектора L , собственные для оператора Lz )
Переход к другому базису
(Ψn |m|)+ = Ψn ,+m + Ψn ,–m = R Θ cos mφ (Ψn |m|)– = Ψn ,+m – Ψn ,–m = R Θ sin mφ
|
2ро |
2рz |
2p-оболочка |
2р+1 |
2рx |
|
||
|
2р–1 |
2рy |
|
Комплексный |
Действительный |
|
базис |
базис |
2р |
x |
~ 2p |
+1 |
+ 2p |
–1 |
= e+iφ |
+ e–iφ |
= R sinθ cosφ |
|
|
|
|
|
|
|||
2р |
y |
~ 2p |
+1 |
– 2p |
–1 |
= e+iφ |
– e–iφ |
= R sinθ sinφ |
|
|
|
|
|
|
2рz = 2po = R cosθ ei0φ = R cosθ
2рx = R sin θ cos φ
– + 
X
Y Z
– |
+ |
– |
+ |
|
X |
|
X |
– |
+ |
– |
+ |
Полярная диаграмма |
Полярная диаграмма |
функции cos φ |
функции sin θ |
2рx = R sin θ cos φ |
Z |
+
–
X |
– |
2рy = R sin θ sin φ |
2рz = R cos θ |
|
|
|
|
– |
+ |
y |