1.2. Алгебра событий.

1.3. Аксиомы вероятности и следствия из аксиом.

Изучение свойств относительных частот и абстрагирование этих свойств привело к аксиоматическому построения теории вероятностей. Эта теория была создана в 1933 году советским математиком А.Н. Колмогоровым. В основе этой теории лежит определение вероятности как определенной числовой меры над множествами-событиями. Для того, чтобы такая мера существовала, необходимо потребовать, чтобы подмножества  были измеримы. Во многих случаях, когда множество имеют сложную структуру (например, множество типа континуум) класс всех подмножеств множества оказывается слишком широким, чтобы можно было гарантировать измеримость любого элемента подобного класса. Поэтому необходимо ограничить класс всех подмножеств до более узкого класса измеримых подмножеств.

Система F подмножеств множества ,удовлетворяющая условиям:

1.   F

2. Из того, что А  FиВ F, следует А+В F, АВ F, ,.

называется алгеброй (или булевой алгеброй) событийдля данного эксперимента.

Вероятность Р(А) есть числовая функция, определенная на алгебреF

(А  F) и удовлетворяющая следующим трем аксиомам:

А. 1. Р(А) ≥ 0 (не отрицательность).

А. 2. Р() = 1 (нормативность).

А. 3. Для любых несовместных событий А₁, А₂,…, А_n из алгебрыF (то есть для любых,,)

(аксиома аддитивности вероятностей)

Таким образом, вероятность определяется как неотрицательная, нормированная и аддитивная мера над элементами из класса F.

Тройку { , F, P}, гдеF – алгебра подмножества , Р –числовая функция, удовлетворяющая аксиомам 13, называютсявероятностным пространством случайного эксперимента. Построение вероятностного пространства, вообще говоря, выходит за рамки теории вероятностей. Наиболее трудной ее частью является вопрос о правильном задании вероятностного распределения на поле событий для данного эксперимента. Аксиомы вероятности не содержат указаний о численном значении вероятностей элементов системыF , а определяют лишь общие свойства, которым должна удовлетворять вероятность как числовая функция (система аксиом не полна). Поэтому, оставаясь в рамках аксиоматической теории, указанную задачу нельзя решить однозначно.

Вопрос о том, какое значение вероятности следует приписать тем или иным событиям в реальных экспериментах, в общем случае решается методами математической статистики. В некоторых частных случаях вероятностное пространство может быть построена основе проведения аналогии между описываемым экспериментом и какой-либо хорошо изученной моделью случайного эксперимента и известным распределением вероятности. Подобным образом, например, строится вероятностное пространство для так называемой классической схемы, которая подробно будет рассмотрена далее.

Из аксиом вероятности вытекает ряд следствий.

С.1. Р()=0.Действительно, так как +  = , то из аксиом 3. и 2. следует указанный результат.

С.2. .

Так какА+= , то результат получается аналогично предыдущему.

С.3. Если А  В, тоР(В) ≤ Р(В).

Заметим, прежде всего, что еслиА  В, тоАВ = А, поэтомуВ = В = В(А+) = АВ+В = А+В, и по аксиоме 3:Р(В) = =Р(А)+Р(В) ≥ Р(А)в следствии А.1.

С.4. Р(А) ≤ 1 Так какА  , то результат вытекает из предыдущего следствия и аксиомы 2.

С.5. Формула сложения вероятностей: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Преобразуем сумму двух событий следующим образом:

А+В=(А+В)  = (А+В)(А+) = А+АВ+В = А+В,посколькуА+АВ=Апо закону поглощения (АВ  А). Так как слагаемыеАи Внесовместны, то по аксиоме аддитивностиР(А+В) = Р(А)+Р(В).С другой стороны,В=В+ВА(смотри схему доказательства С.3.). ОтсюдаР(В)=Р(В)+Р(АВ).Выражая из этого равенстваР(В)и подставляя в формулу дляР(А+В), получаем требуемый результат.

С.6. Р(А+В) ≤ Р(А)+Р(В). Вытекает из С.5. В частном случае, когда А и В несовместны, неравенство переходит в равенство (аксиому аддитивности)

Формула сложения (С.5.) играет большую роль в теории вероятностей. Ее можно обобщить на три и большее число слагаемых.

С.7. Формула сложения для трех слагаемых:

Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС)

Действительно,используя свойство ассоциативности суммы событий, дистрибутивности сложения относительно умножения и дважды используя свойство С.6., получим:

Р(А+В+С)=Р((А+В)+С)=Р(А+В)+Р(С)-Р(АС+ВС)=

=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВC)+Р(АВС)

Пример. Вывести самостоятельно, используя математической индукции и свойства 6 и 7, формулу сложения дляn событий:

P(A+A₂+…+A_n)=