§1.7. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернули.

Опыт:последовательность вероятностных опытовЭ₁, Э₂,…, Э_n. Рассматривается совместный результат.

Пусть для любого Э_к  Ω_кмножество исходов этого опыта:

Ω = Ω₁х Ω₂х… хΩ_n=(₁, ₂,…,_n)  _к  Ω_к .

Вероятность такого исхода:

Р (₁, ₂,…,_n )=Р₁₂…_n=(по формуле умножения вероятностей)=

=Р(₁)Р(₂/₁)Р(₃/₂ )…Р(_n/₁₂_…._n-1) (2)

Частные случаи последовательности испытаний.

1. Р(_к/₁₂_…._к-1) = Р(_к/_к-1). Такая последовательность называетсяпростая цепь Маркова.

2. Для _к : Р(_к/₁₂_…._к-1) = Р(_к) т.е. не зависит от предшествующих исходов. Такая последовательность называетсяпоследовательностью независимых испытаний.

В (2) получим Р(₁₂_…._n)= Р(₁)  Р(₂) …. Р(_n)(3)

Пусть выполнены условия:

1. испытания независимы;

2. в каждом из испытаний наблюдается одно и то же событие А, причем если в каком-либо испытании А наступило, то «успех», если нет, то – «неудача» .

Ω_к =  Y,, гдеY - успех и- неудача.

3. вероятность успеха не зависит от номера опыта, т.е. от Р(Y)=Р=const ,дляΩ_к.

Определение:Такая последовательность испытания называетсясхемой Бернулли.

Задача.Проделиnиспытаний по схеме Бернулли. Вероятность успеха в одном опыте –Р

Рассмотрим событие:

B_n,m = в n опытах наступает ровно m успехов

Тогда Ω = (₁, ₂,…, _n)  _к =

! Это не классическая схема.

Действительно,

Р(0,0,0,….,0)=Р(0)Р(0) …Р(0)=(1-Р)ⁿ различны

Р(1,1,1,….,1)=Р(1) Р(1) …Р(1)=Рⁿ

Понять: из скольких исходов состоит наше событие?

Очевидно, что В_n,m=, где -слова, содержащие ровноmединиц расположенных в фиксированных клетках.

и - несовместныi  k.

Таких слов столько, сколько существует возможных сочетаний В_n,m=.

По аксиоме 3:

, (4)

Введем обозначение: P_n,m(p)=D(B_n,m)

Формула Бернулли:

(4’),

где q=(1-p)

Пример 4.1:Из множества чиселЕ=1,2,….,10наудачу последовательно и с …. отбираются четыре числа.

А=будут присутствовать ровно два числа кратных трем

Решение.

1. Модель в сему укладывается;

2. «успех» это очередное вытянутое число кратное трем;

P=P(y)=0,3=3/10  по формуле (4’) или (4)

Пример 4.2: Вывести следующую рекуррентную формулу:

(5)

Пример 4.3.Устройство состоит из 200 независимых работающих элементов. Вероятность «отказа» любого элемента схемы р=0,01. «Успех» – это отказ. Какое число отказавших элементов наиболее вероятно.

Решение.

Р_200,0(0,01)=(0,99)²⁰⁰

Р_200,1(0,01)=( при n=200 и m=0 )=>

Р_200,2(0,001)=( при n=200 и m=0 )=>

Р_200,3(0,01)=( при n=200 и m=1 )=>

Ответ:наиболее вероятное число отказавших элементов равно двум.

§1.8. Обобщение схемы Бернулли.

1. Биноминальная. Существует два исхода у,у,ноР(J_k)= Р_k, т.е. зависит от номера опыта. Используетсяпроизводящая функция: (6)

2. Полиномиальная. В каждом опыте Ω =₁,₂,…,_n,, но для всех опытов Р(_к)=Р_к,

Пример 4.4:Прибор состоит из пяти элементов, которые занумерованы. Вероятность отказов элементов: (0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6)

А = хотя бы один прибор отказал;

В =  прибор отказал = А = отказало не менее двух элементов.

Решение:Р(А)=1-Р(), Р()=Р_0,5 =q₁ q₂… q₅=…