§1.6. Правила вычисления вероятностей сложных событий.

Определение:сложными событияминазывается событие, выраженное в алгебре событий через другие события, наблюдаемые в этом же эксперименте.

Пример:С = АВ+D  C – сложное событие.

Перечислим все правила, используемые при вычислении вероятности сложного события.

Правило 1:Р(А) = 1-Р().

Правило 2: Формула сложения вероятностей для двух и большего числа событий.

Правило 3: Формула умножения вероятностей: из (1)  Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) (4)

Часто условная вероятность известна. В некоторых случаях вероятность можно вычислять как безусловную, путем сложения пространства.

Правило 4: Формула умножения вероятностей для 3-х и большего числа событий.

P(ABC)=P((AB)C)=P(C)P(AB/C)=P(C)P(A/C)P(B/AC)

Условная вероятность обладает всеми свойствами безусловной, но при условии С  справедлива формула умножения.

Иначе мы можем записать полученный результат в виде формулы:

P(ABC)=P(A)P(B/A)P(C/AB)

Правило 5. Если события A₁,A₂,…A_n независимы в совокупности (это часто сформулировано в модели)  P(A₁+A₂+…+A_n)=1-P(₁)P(₂)… P(_n).

Доказательство. Перейдем к противоположному событию к сумме:

(по формуле де Марана) =.

Из первого примера  P(A₁+A₂+…+A_n) = 1-Р() =

=1-P(₁₂… _n) = (неизвестность в совокупности; отрицание не влияет) =

=1-P(₁)P(₂)… P(_n)

Пример 4: Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна Р = 0,7. Сделано пять независимых выстрела. А = хотя бы одно попадание.

Решение. Р(А) = 1- P(₁)P(₂)… P(₅), где А_к = попадание при к-том выстреле

Р(А) = 1-0,035 = 0,9975.

Правило 6: Пусть построена система событий Н₁, Н₂,….,Н_n, удовлетворяющая условиям:

1. Н_к = , к = 1,2,..,n;

2. Н_{i, j}  , i  j (Н_i и Н_j - попарно несовместны);

3. Н₁ + Н₂ +…+ Н_n = Ω для данного эксперимента;

Определение: такая система называется полной группой независимых событий. События, образованные разбиением событий Н₁, Н₂,….,Н_n , называется гипотезами.

В этом примере выполняется формула полной вероятности:

(5)

Доказательство.

А=АΩ = А(Н₁ + Н₂ +…+ Н_n)=А Н₁ + АН₂ +….+АН_n = (в силу независимости А) 

= (по формуле деления вероятности) =

Пример 5: Партия транзисторов, среди которых 10% дефекта, поступает на проверку. Схема проверки такова: вероятность обнаружения ошибки 0,95, если она есть; 0,03 – вероятность, что исправленный транзистор будет признан дефектным.

Эксперимент: наудачу выбирается транзистор.

Решение. А =  транзистор будет признан дефектным

Гипотеза: Н₁= транзистор на самом деле дефектный 

Н₂ =

Заданы условия вероятности.

Р(А) = Р(Н₁)Р(А/Н₂)+Р(Н₂)Р(А/Н₂)=0,10,05+0,90,003=0,095+0,027=0,122>P(Н₁)

Лекция 4.

Правило 7:(Формула Байеса в схеме полной вероятности)

Пусть событие Апроизошло. Какова при этом условии вероятность существования гипотезыН_к? (Речь идет об условной вероятности)Р(Н_к/А)-?

(1)

Объяснение:Р(Н_к)–априорные вероятности гипотез

Р(Н_к/А)– апостериорные вероятности гипотез (послеопытные)

Пример 6:В условии эксперимента, описанного в примере 5, известно, чтоАпроизошло.

Р(Н₁/А) =?

Решение.из (1) следует, чтоР(Н_к/А)=>> Р(Н₁)

Если обнаружен дефект, то скорее всего дефект есть.

Задача(Пример 7): В лотерее выпущено 100 билетов, в которых два выигрышных. Студент купил два билета, но один потерял. Какова вероятность, что он выиграл. Сравните с той вероятностью, если бы он не потерял билет.