§1.4. Схема геометрической вероятности.

Распространим классическую схему на случай, когда Ω – непрерывно (континуум).

Пусть Э. (эксперимент) удовлетворяет следующим условиям:

1. Ω – квадрируемая область (имеет площадь) на плоскости;

2. А  Ω – любая квадрируемая подобласть из Ω;

3. Эксперимент состоит в выборе наудачу точки из Ω (т.е. вероятность попадания в любую подобласть из Ω не зависит от ее расположения, а только от ее размера) => справедлива формула геометрической вероятности: (6)

Заметим, что квадрируемость понимается как площадь в смысле меры Лебега, а не меры Ремарка.

Обобщение: Ф.Г.Б. на случай эвклидова пространства Rⁿ: (7)

Пример 2: Задача о встрече (на семинаре)

Пример 3: Задача Бюффона.

На плоскость, разграниченную параллельными прямыми линиями на расстоянии 2а друг от друга, наудачу бросается игла диной 2L (L<<a). Найти вероятность следующего события Аигла пересекает какую-либо из параллельных прямых линий.

Решение.

Будем описывать положение иглы двумя координатами:  - угол, y – расстояние до ближайшей прямой.

(,y) – положение иглы по отношению к ближайшей прямой.

Ω = (,y ) 0 ≤  ≤ , 0 ≤ у ≤ а

А = (,y ) 0 ≤ у ≤ Lsin

Если L=a/2 => P(A)=1/

Лекция 3.

§1.5. Условные вероятности. Независимость событий.

Аксиома 4. , P(A) 0. (1)

Вероятность существования b при условии, что произошло a в том же эксперименте, определяется через отношение двух безусловных вероятностей.

Объяснение: возьмем классическую схему геометрической вероятности.

Ω B Пусть A произошло.

AΩ ₁

A На долю B приходится часть пересечения A и B.

.

Если A произошло, то ясно что другие точки рассматривать незачем. При таком определении все свойства (следствия из аксиом) работают также, как и для безусловной вероятности.

Свойства условной вероятности.

1. 

2. 

Доказательство:

Сохраняются и все остальные свойства.

Пример 1: В условиях примера с картами из лекции 2, необходимо вычислить P(A/B), P(B/A).

Решение.

A – картинка;

B – красная масть.

Из определения следует:

.

Ответ: 4/9, ½.

Опредиление: события A, B называются независимые, если выполняется условие:

P(AB)= P(A)+P(B) (2)

Опредиление: если выражение 2 выполняется, то события A, B зависимые.

Следствие 1.

Пусть А и В – независимые => P(A/B)=P(B).

Доказательство.

Условная вероятность выполнения А при условии В, от В не зависит.

Аналогично от P(B).

Пример 2.Зависимые или нет события А и В из примера 1?

Решение.

Необходимо проверить выполняется условие 2 или нет.

 А и В – независимые.

Следствие 2.

Если А и В независимые, то независимы также и следующие пары событий: А и ,иВ,

и .

Доказательство.

Достаточно доказать для пары А и .

А=А Ω=А(В+В)=АВ+А слагаемые несовместны в силу независимости

Из аксиомы 3 

.

Следовательно пара А и независимы.

Замечание: следствие сохраняет силу и для большего числа попарно независимых событий.

Если событий >2, то как понимать их независимость?

Определение: события A₁,A₂,…A_n называются независимые в совокупности если для любого подмножества из этих событий { A_k1,A_k2,…,A_km}, m=1,2,….n, выполняется равенство:

P(A_k1,A_k2,…A_km)=P(A_k1)P(A_k2) …..P(A_km) (3)

Замечание: попарной независимости недостаточно для независимости совокупности.

Пример 3: (Бернштейн)

Опыт: тетраэдр , на каждой из трех сторон которого по одному цвету: красный, зеленый, синий. А четвертая грань имеет все три цвета.

Наудачу подбрасывается тетраэдр.

События: грань, на которую упал тетраэдр, содержит данный цвет: красный, зеленый, синий.

Оказывается, что цвета К., З., С. – попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности.

Доказательство:

1. Р(КЗ) = = Р(К)Р(З)  попарно независимы

Р(К) = Р(З) =

2. Р(КЗС) = Р(К)Р(З)Р(С) =.

Следствие 3: (связь независимости с несовместимостью)

Если А и В – несовместны, причем Р(А) > 0 и Р(В) > 0, то А и В обязательно зависимы.

Доказательство:Р(А) = 0, т.к.АВ = (АиВнесовместны)

Р(А)Р(В) > 0 (по условию)  (2) не выполняется  А и В – зависимы.

Пример 4: Доказать, что из несовместимости двух событий вытекает их совместимость.

Р(АВ) > 0  AB 0  AB – совместны.

Имеется два варианта моделирования с учетом независимости:

1. модель полностью фор------ , т.е. Ω , F, P - построена  независимость событий устанавливается ( проверяется ) с помощью формулы (2);

2. при построении модели волевым усилием вносится а нее независимость событий  для этих событий автоматически выполняется (2).

Пример 5: независимые стрелки стреляют по мишеням. Их результаты считаются независимыми.