Границы доверительного интервала для Lk имеют вид

Lk^*  S_LK [(n-l) F_1-(l-1,n-l)]^1/2

Практическая часть.

Построить диаграмму рассеяния нанести на нее уравнения регресси Y на X

y=^*₀ +^*₁x и X на Y x=^*₀ +^*₁y.

Объем выборки n=50. Предварительно вычислим

x_i = 287,21, y_i = 896,06 ,x²_i = 1778,5947 ,y²_i = 16099,5576 , x_iy_i = 5201,0637 .

Тогда по формуле (1)

x^*=287,21/50= 5,7442 , y^*=896,06 /50=17,9212

Для контроля правильности вычислений используется тождество

 (x_i+y_i)²= 28280,2797

x²_i + 2 x_iy_i + y²_i = 1778,5947+2*5201,0637+16099,5576=28280,2797

Следовательно, вычисления проведены верно . Предварительно найдем

Q_x=1778,5947 - (287,21)²/50= 128,803

Q_y=16099,5576 - (896,06)²/50= 41,0871

Q_xy=5201,0637 - (287,21)(896,06)/50= 53,9158

Окончательно из соотношений (5) получаем

D^*_x=2,5761 , D^*_y = 0,8217

R=0,7411

По формулам (6) и (7) найдем оценки коэффициентов регрессии

₁^*= 53,9158 / 128,803= 0,4185

₀^* = 17,9212- 0,4185*5,7442= 15,5172.

₁^*= 53,9158 / 41,0871=1,3122

₀^*=5,7442 - 1,3122 *17,9212=--17,7720.

Таким образом, выборочная линейная регрессия имеет вид

y=15,5172+0,4185*x

x=-17,7720+1,3122 *y

Точка пересечения (5,7442 ,17,9212)

e_i = y_i – ŷ _i, i = 1,2,......,n . Все остатки приведены в таблице 1.

Находим остаточную сумму квадратов Q_e

Q_e =  e²_i=18,5184

По формуле (15) находим сумму квадратов, обусловленную регреггией Q_r

Q_r= Q_y -Q_e = 41,0871-18,5184=22,5687

Оценка дисперсии ошибок наблюдений по формуле (12) равна

S²=18,5184/(50-2)=0,3858 ,s=0,6211

Значение квантили t_1-/2(n-2)= t_1-/2(48) = 2,021 (таблица П6)

Границы доверительных интервалов равны: для коэффициента ₀^*

₀^*  t_1-/2(n-2) * s * [x²_i/(n*Q_x)]^1/2 = 15,5172  2,021 * 0,6211* [(1778,5947/(50*128,803)]^1/2= 15,5172  0,6596

для коэффициента ₁^*

₁^*  t_1-/2(n-2) * s * [1/Q_x]^1/2 = 0,4185  2,021 * 0,6211 (1/128,803)^1/2=0,4185  0,1105

Границы доверительного интервала для значения Y₀ соответствующего заданному значению переменной x=x₀:

y₀^*  t_1-/2(n-2) * s *[1/n + {(x₀-x^*)²/Q_x}]^1/2= y₀^*  2,021 * 0,6211*[1/50 + {(x₀- 5,7442 )²/128,803}]^1/2 = y₀^*  1,2552*[1/50 + {(x₀- 5,7442 )²/128,803}]^1/2

Границы доверительного интервала для дисперсии ошибок наблюдений ²

[(n-2)* s²]/²_1-/2(n-2) < ² < [(n-2)*s²]/²_/2(n-2)

[48*0,3858]/67,5< ² < [48*0,3858]/34,8

0,2743 < ² < 0,5321

Коэффициент детерминации R² по формуле (16)

R²= 1 – (18,5184 / 41,0871)=0,5493

Этот результат означает, что полученное уравнение регрессии на 54,93% объясняет общий разброс результатов наблюдений относительно горизонтальной прямой y=17,9212. Выборочный коэффициент корреляции

r_xy= + (0,5493)^1/2=0,7414

3)Однофакторный дисперсионный анализ

Задача заключается в проверке гипотезы H₀ : m₁=m₂ где m_k– математическое ожидание чисел k-й группы.В нашем случае l=2,n=100,

Вычисления удобно проводить в такой последовательности

x . .=  x_ik=287,21+896,06=1183,27

 x²_ik=1778,5947 + 16099,5576 =17878,1523

Далее из (17) и (18) получаем

Q=17878,1523 – (1183,27)² /100= 3876,8733

Q₁=[(287,21²+896,06²)/50 ] - (1183,27)² /100 =3706,9832

Q₂ = Q - Q₁=169,88

Найдем статистики S²₁ и S²₂

S²₁= Q₁(l-1)= 3706,9832

S²₁= Q₂/(n-1)= 169,88 / 98=1,7335

Найдем выборочное значение статистики H₀

F_в= ( n-2 ) Q₁ / [Q₂ (l-1)]= S²₁ / S²₂ = 2138,4385

Так как квантиль распределения Фишера F_1-(1,n-2)= F_0,95(1,48)=251,1 ,что меньше выборочного значения статистики F_в, то гипотеза H₀ отклоняется на уровне значимости = 0,05. Таким образом , линейная регрессия Y на x статистически значима.

Значения полученные на Statgrafics

Regression Analysis - Linear model: Y = a+bX

--------------------------------------------------------------------------------

Dependent variable: Y.Y Independent variable: X.X

--------------------------------------------------------------------------------

Standard T Prob.

Parameter Estimate Error Value Level

--------------------------------------------------------------------------------

Intercept 15.5167 0.326416 47.5366 .00000

Slope 0.418591 0.0547291 7.64843 .00000

--------------------------------------------------------------------------------

Analysis of Variance

--------------------------------------------------------------------------------

Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio Prob. Level

Model 22.568715 1 22.568715 58.49845 .00000

Error 18.518413 48 .385800

--------------------------------------------------------------------------------

Total (Corr.) 41.087128 49

Correlation Coefficient = 0.74114 R-squared = 54.93 percent

Stnd. Error of Est. = 0.621128