Коллоквиум / Вопросы к колобку 2003
.doc1. Декартово произведение множеств. Бинарное отношение. Обратное отношение. Произведение бинарных отношений.
2. Отношения эквивалентности и разбиения множества на классы.
3. Отношения порядка. Линейный порядок. Лексикографический порядок. Наибольший, наименьший, максимальный, минимальный эл-ты.
4. Транзитивное замыкание бинарного отношения.
5. Множества с операциями. Гомоморфизм, изоморфизм. Единицы, нули.
6. Сложение и умножение по модулю «N».
7. Полугруппы. Примеры полугрупп. Полугруппа преобразований множества.
8. Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом группы.
9. Подгруппы Подгруппа, порождённая множеством эл-тов.
10. Циклические группы.
11. Группа подстановок. Разложение подстановки в произведение непересекающихся циклов.
12. Разложение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа и следствия из не.
13. Порядок эл-та группы. Его свойства.
14. Порядок эл-та в прямом произведении групп.
15. Нормальные группы. Необходимые и достаточные условия того, что подгруппа яв-ся нормальной.
16. Фактор-группа.
17. Ядро гомоморфизма. Теорема об изоморфизме.
18. Прямая сумма абелевых групп.
19. Примарные компоненты абелевой группы. Разложение конечной абелевой группы в прямую сумму примарных компонент.
20. Разложение на примарные циклические подгруппы (существование и единственность).
21. Кольца и поля. Примеры колец и полей. Подкольцо, идеал.
22. Условия, при которых Zn яв-ся полем.
23. Фактор-кольцо.
24. Теорема об изоморфизме для колец.