Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

Кафедра автоматики и процессов управления

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Кафедра управления проектами

12

ЛЕКЦИЯ № 7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ В СИСТЕМОЛОГИИ Д.КЛИРА

Системология Д. Клира. Эпистемологические уровни систем. Исходная система. Система объекта. Система данных. Порождающая система. Примеры.

1. Системология Дж. Клира

Рассматривается широкое поле системных проблем, среди которых определяющее значение имеют информационные, реляционные и структурные проблемы. С общих позиций изучаются классы систем с определенными типами отношений. Свойства отношений - основной предмет системологии.

Эпистемологические уровни

Эпистемологические уровни (ЭУ) представляют крупные классы систем. Множество ЭУ образует решетку. Узлы решетки - классы эквивалентности общих (не интерпретированных) систем, обладающих принципиальными методологическими отличиями. Каждый класс эквивалентности – определенный тип общих систем.

ЭУ 0 Исходные системы	Объект воспринимается как совокупность характеризующих его свойств. Система определяется на объекте через множество переменных, представляющих свойства объекта, и множества потенциальных состояний, выделяемых для каждой переменной.
ЭУ 1 Системы данных	Определяется исходная система с данными. Данные могут быть получены из наблюдений с помощью измерений или в результате выбора каких-либо желательных потенциальных состояний.
ЭУ 2 Порождающие системы	Определяется как система данных, обладающая параметрически инвариантными ограничениями, благодаря которым состояния переменных порождаются при изменении параметров и выборе начальных (граничных) условий.
ЭУ 3 Структурированные системы	Класс структурированных систем образуют системы 2-, 1-, 0-го уровней.
ЭУ 4, 5,.. Метасистемы	Системы 4, 5, .. уровней представляют соответственно классы метасистем 4-, 5-го и т.д. уровней. Каждый такой класс возникает на базе систем (метасистем) более низких уровней, обладающих некоторыми параметрически инвариантными метасвойствами (правилами, отношениями, процедурами).

Рис 1. Решетка Д. Клира:

S исходная система (система без данных);

SS структурированная исходная система;

MS исходная метасистема;

MSS структурированная исходная метасистема;

MMSS структурированная исходная мета-метасистема;

D система данных;

SD структурированная система данных;

MD метасистема данных;

MSD структурированная метасистема данных;

MMSD структурированная мета-метасистема данных

G порождающая система;

SG структурированная порождающая система;

MG порождающая метасистема;

MSG структурированная порождающая метасистема;

MMSG структурированная порождающая мета-метасистема;

и т.д.

Исходная система (S)

S = (O, I, I, Q, ) - исходная система.

O - система объекта,

I - конкретная представляющая система,

I - обобщенная представляющая система,

Q - четкий канал наблюдений,

 - канал абстрагирования.

Система объекта (O)

Определяет объект с точностью до состава его свойств и баз:

O = {(a_i, A_i i  N_n), (b_j, B_j  j  N_m)}.

a_i, A_i - свойство и множество его проявлений,

b_j, B_j - база наблюдений проявления свойства и область ее определения,

N_n - множество свойств, принятых для описания объекта,

N_m - множество баз.

Конкретная представляющая система (I)

Описывает объект в терминах каналов наблюдения всех переменных и множеств их значений.

I = {(v_i, V_i  i  N_n), (w_j, W_j  j  N_m)}.

v_i, V_i - конкретная наблюдаемая переменная и множество ее значений,

w_j, W_j - конкретная база (параметр) и множество ее значений.

Обобщенная представляющая система (I)

Задает объект в абстрактном виде путем введения обобщенных шкал измерения значений переменных и параметров.

I = {v_i, V_i  i  N_n), (w_j, W_j  j  N_m)}.

v_i, V_i - обобщенная наблюдаемая переменная и множество ее значений,

w_j, W_j - обобщенный параметр и множество его значений.

Четкий полный канал наблюдений (Q)

Характеризует переход O  I.

Q = {( A_i, V_i, o_i  i  N_n), (B_j, W_j, s_j  j  N_m)}.

o_i: A_i  V_i , s_j: B_j  W_j , o_i и s_j - изоморфизмы.

Канал абстрагирования ()

Характеризует переход I  I:

 = {(V_i, V_i, _i i  N_n), (W_j, W_j, _j j  N_m)}

_i: V_i  V_i , _j: W_j  W_j.. _i , _j - гомоморфизмы.

Система данных (D)

D= (I, d); d: W V.

Возможные способы получения данных:

 через каналы наблюдений (измерений);

 путем вывода из систем более высоких уровней (порождающей,...);

 вследствие прямого задания пользователем (например, при проектировании).

Данные, полученные через канал наблюдений, разделяются на четкие и нечеткие. Четкие данные представляются матрицей d = (v, w). При конкретном значении параметра w_j нечеткие данные представляются матрицей d = ( d_i,_j(i), ), элементами которой являются степени уверенности h(y) = d(w_j) в том, что при выборе w_j переменная v_i примет значение y.

Порождающая система (Fb или Fs)

Порождающая система

Система с поведением F(b) = [I, M, f(b)]

Система с изменяющимися состояниями F(b) = [I, M, f(b)]

Рис. 2. К определению порождающей системы

M - маска.

M V R - отношение соседства на W.

r(w)  R - правило сдвига, r(w): W  W. Если W - вполне упорядоченное множество, то r(w) = w+q, q = const и означает смещение.

S_kw = V_i,r(w) - выборочные переменные. Для определения идентификатора k выборочной переменной S_kw применяется функция кодирования  = M  N(M), где N(M) - отрезок на N\0 длины M.

C =  S_k - множество состояний выборочных переменных S_k., k=1(1) M

f_b: C  {0,1} - функция поведения (выхода).

f_s: (C  C)  {0,1} - функция изменения состояния (перехода).

Порождающая система с поведением (Fg_b)

F(g_b) = [I, Mg_b, f(g_b)],

Mg_b = [M, Mg₁, Mg₂], где: M - маска, Mg₁ - порождающая часть маски, Mg₂ - порождаемая часть маски.

f(g_b) = (G₁  G₂)  {0,1} или иначе f(g_b) = G₁  G₂,

где G₁ =  S_k, G₂ =  S_k. ; k Mg₁ kMg₂

Порождающая система с изменяющимися состояниями (Fg_s)

F(g_s) = [I, Mg_s, f(g_s)],

f(g_s) = (G  G) {0,1}, G =  S_k.; k  Mg.

Другая форма записи:

f(g_s): G  G₁; G₁ =  S(k); k  Mg₁,

причем Mg и Mg₁ - одна и та же маска. Маски порождающих систем F(g_s) не имеют пробелов.

Любую такую систему можно преобразовать в изоморфную ей систему с поведением: F(g_s)  F(g_b).

Пример Пусть D = (I, d) – система данных, d = (v, w).

V	W									q = 0 для w = 7
	1	2	3	4	5	6	7	8		-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
v1	0	0	1	2	2	2	0	1					S1	S2
v2	3	2	2	2	1	2	3	2						S3	S4
v3	0	0	0	1	1	1	0	0				S5	S6	S7
v4	0	0	1	2	3	0	0	1				S8		S9
v5	2	2	2	0	1	2	2	2						S10

Cтолбец выборочных переменных в маске для q = 0 называют справочником: S2, S3, S7, S9, S10. Значения выборочных переменных, указанных в маске:

S_1.7 = v_1.6 = 2; S_2.7 = v_1.7 = 0; S_3.7 = v_2.7 = 3; S_4.7 = v_2.8 = 2; S_5.7 = v_3.5 = 1; S_6.7 = v_3.6 = 1; S_7.7 = v_3.7 = 0; S_8.7 = v_4.5 = 3; S_9.7 = v_4.7 = 0; S_10.7 = v_5.7 = 2.

Множество состояний выборочных переменных: C =  S_k,wj = {0,1,2}³  0,1,2,3}⁴ {0,1}³; k=1(1)10.

Пример

Дана система с памятью, одним параметром (t - время) и тремя базовыми переменными: V₁(t), V₂(t), V₃(t). Ограничения задаются возможностной функцией поведения. Для ее нахождения применяется маска М с памятью (М = 2) и четырьмя выборочными переменными (k = 4).

. . . t-1 t t+1

V1	V1	V1	V1	V1	V1
V2	V2	V2	V2	V2	V2
V3	V3	V3	V3	V3	V3

Фрагмент таблицы наблюдений

S₁(t) = V₁(t),

S₂(t) = V₂(t),

S₃(t) = V₃(t),

S₄(t) = V₃(t-1).

Определение значений выборочных переменных

Самая подходящая маска характеризуется мерой сложности, оцениваемой по используемому числу выборочных переменных |M|=k и порождаемой маской нечеткости.

Более сложные маски дают меньшую нечеткость, но их обработка более трудоемка. Число допустимых масок N(n,M) зависит в каждом конкретном случае от выбора параметров n (число базовых переменных) и M (глубина маски):

N(n, M) = (2^M - 1)ⁿ -(2^{M - 1} - 1)ⁿ.

Таблица 1. Число допустимых масок.

n	Глубина маски (M)
	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	2	4	8	16	32	64	128
2	1	8	40	176	736	3008	12160	48896
3	1	26	316	3032	26416	220256	1.8 x 106	1.5x107
4	1	80	2320	48224	872896	1.5x107	2.4x108	109

Замечание. В данном примере выбор маски не производится. Она считается заданной. Выбор маски - самостоятельная задача. Ее оптимальное решение дает возможность получения наилучшей функции поведения.

Применение выбранной маски к имеющейся системе данных, полученных в результате проведения 90 исследований, дает преобразованную систему данных, в которой используются выборочные переменные. На основании этой системы определяется функция поведения. Относительно этой функции решается задача реконструкции.

Состояния системы (c) и их встречаемость N(c) приведены в табл. 2.

Таблица 2. Состояния реконструируемой системы и значения функции поведения.

Состояния С	Выборочные переменные				Встречаемость состояний N(c)	Возможностная функция поведения f(c)
	S1	S2	S3	S4
1	0	0	0	0	3	1/3
2	0	0	1	0	6	2/3
3	0	0	2	0	3	1/3
4	0	0	3	0	3	1/3
5	0	1	0	0	9	1
6	0	0	3	1	3	1/3
7	0	1	0	1	6	2/3
8	0	1	1	1	3	1/3
9	0	1	2	1	9	1
10	0	1	3	1	3	1/3
11	0	0	2	2	3	1/3
12	1	0	1	2	9	1
13	1	0	2	2	3	1/3
14	1	0	3	2	6	2/3
15	1	1	3	2	3	1/3
16	0	1	0	3	3	1/3
17	1	1	1	3	6	2/3
18	1	1	2	3	6	2/3
19	1	1	3	3	3	1/3

Встречаемость состояний измеряется в условных величинах. Для вычисления возможностной функции поведения f(c) применена формула:

f( с) = N (c) / max N(с ); с  С

Общая схема решения задачи реконструкции приведена на рис. 1, 2. Уточняется структура, имеющая вид полного графа на четырех вершинах, изображающих выборочные переменные. При уточнениях находятся:

• проекции f₁ и f₂ функции поведения для 1-й и 2-й подсистем, выявляемых в ходе решения реконструктивной задачи;

• соединение f₁ * f₂ двух гипотез реконструкции для вычисления меры нечеткости.

Процедура соединения проекций возможностной функции поведения задается как:

[ f₁ * f₂ ](b, c) = min [ f₁ (b), f₂ (b, c)] [ f₁ * f₂ ] (a, c) = min [ f₁ (a), f₂ (c)]

• информационные расстояния каждой гипотезы.

Пример построен для несмещенной реконструкции, ориентирован на применение информационного расстояния и получение С - структур. В качестве критерия при реконструкции используется максимальное допустимое расстояние D = 0,1.

Уровни	Число потенциальных гипотез
1	С (6, 1) = 6
2	С (6, 2) = 15
ð 3	С (6, 3) = 20
4	С (6, 4) = 15
5	С (6, 5) = 6
6	С (6, 6) = 1

Ÿ Всего потенциальных гипотез - 63.

Ÿ Используя ограничение D < 0.1 и отклоняя неперспективные гипотезы, можно сократить число рассматриваемых гипотез до 20.

Ÿ Используя ограничение однозначного управления, можно уменьшить число гипотез до 12.

Рис. 1. Схема решения задачи реконструкции.

Все данные о С - уточнениях гипотез приведены на рис. 3.

L1	Гипотеза	1	2	3	4	5	6
	Структура	123/234	123/134	123/124	134/234	124/234	124/134
	Оценка	D1=0.0774	D2=0.058	D3=0.0952	D4 = 0.0	D5= 0.0179	D6= 0.0449

L2	Гипотеза	7	8	9	10	11
	Структура	234/13	134/23	14/24/13/23	234/14	134/24
	Оценка	D7 = 0.086	D8 = 0.0681	D9 = 0.122	D10 = 0.021	D11= 0.0477

L3	Гипотеза	12	13	14	15	16
	Структура	234/1	14/24/34	14/24/23	14/34/23	12/14/34
	Оценка	D12 =0.1626	D13 = 0.065	D14 = 0.1354	D15 = 0.0887	D16= 0.1188

L4	Гипотеза	17	18	19	20
	Структура	12/13/4	12/23/4	12/24/3	13/34/2
	Оценка	D17 = 0.81	D18 = 01743	D19 =0.2056	D20 = 0.2381

Рис. 3. Разработка гипотез по уровням уточнения.

Суть представленной на этом рисунке информации заключается в следующем:

Ÿ поскольку наименьшее расстояние из всех гипотез на L₁ имеет гипотеза 4 (D₄ = 0), то дальнейшие С - уточнения на L₂ целесообразно вести только для гипотезы 4;

Ÿ обработка гипотез второго уровня приводит к гипотезе 10, имеющей наименьшее расстояние (D₁₀ = 0.021). Однако при совместном рассмотрении гипотез на L₁ и L₂ наблюдается нарушение монотонности: (D₁₀ = 0.021) > (D₅ = 0.0179). Отсюда возникает необходимость проверки всех уточнений второго уровня для гипотезы 5. Ее уточнениями будут либо гипотезы из множества 7 - 11, либо другие гипотезы с еще большими расстояниями. Вывод: лучшей гипотезой на L₂ является гипотеза 10;

Ÿ уточнениями 10-й гипотезы на L₃ являются гипотезы 12 - 15. Наилучшая из них по расстоянию - гипотеза 13. Нарушение монотонности обнаруживается при сравнении расстояний: D₁₃ , D₁₁ , D₂ , D₅ , D₆. Для L₃ показано, что:

(D₁₃ = 0.065) < (D₈ = 0.068) < (D₁ = 0.074) <(D₇ = 0.086) < (D₃ = 0.952).

Гипотеза 7-прямое уточнение гипотезы 1 и, в силу неравенства (D₁ = 0.074)<(D₇ = 0.086) не должна учитываться. Остается оценить расстояния для уточнений гипотез 1 и 3 первого уровня и гипотезы 8 второго уровня. Гипотеза 16 является уточнением гипотезы 8, причем (D₁₆ = 0.1188) > D₁₃. Кроме того, гипотеза 16 вообще не должна рассматриваться, поскольку в примере принята несмещенная реконструкция.

Общий вывод: 13-я гипотеза - лучшая на L₃.

Ÿ на L₄ возможны 15 гипотез. При оценке можно ограничиться сравнением расстояний для уточнений 13-й и 15-й гипотез, поскольку на L₄ только D₁₃ и D₁₅ имеют значения, не превышающие пороговой величины 0,1. Все уточнения этих гипотез превышают допустимое для информационного расстояния ограничение или нарушают требование несмещенности реконструкции.

Задача однозначного управления решается для каждого найденного уточнения, рис. 4. В каждой рассматриваемой структуре задаются :

Ÿ порождающие, порождаемые, входные и выходные переменные;

Ÿ любая порождаемая переменная в каждой гипотезе должна управляться (опреде-ляться) только одним элементом структуры.

В 4-й гипотезе (134 / 234) переменные S₁ и S₂ управляются соответственно элементами 134 и 234. Но переменная S₃, которая входит в каждый из двух элементов структуры, управляется сразу двумя этими элементами.

Гипотеза 0	Гипотеза 4	Гипотеза 10	Гипотеза 13
1234	134 / 234	234 / 14	14 / 24 / 34

Рис. 4. Результаты реконструкции.

Необходимо выбрать лишь один какой-то элемент структуры, управляющий изменениями переменной S₃. Управляющий элемент можно найти, вычислив порождающие нечеткости для каждой альтернативы. Выбирается альтернатива с наименьшей нечеткостью. Порождающая нечеткость (U - нечеткость) используется в системах с возможностными функциями поведения:

U(f) = ,

U (3 |1, 4) = 0.838, U (3 |2, 4) = 0.679.