3. Фракталы

Объекты с дробной размерностью.

Странные аттракторы характеризуются не целыми, а дробными размерностями. Они являются фрактальными объектами¹. Такие объекты не могут быть ни точками, ни линиями, ни поверхностями, ни вообще топологическими многообразиями.

Размерность характеризует геометрический объект числом переменных, которые необходимо задать, чтобы указать местоположение одной из точек объекта.

Точка на линии – одно число. Точка на плоскости – два. Точка в объеме – три и т. д. Существуют, более абстрактные, способы определения размерности.

Геометрический объект можно характеризовать минимальным числом «клеток», необходимых для покрытия объекта. Число d, определяющее размерность, появляется как показатель степени в соотношении, связывающем число N «клеток» и их размер u.

Рассмотрим пример «канторовского множества»:

Возьмем единичный отрезок. Разделим его на три равные части и удалим среднюю треть. Повторим ту же операцию с каждой оставшейся частью, и т д. бесконечно много раз. Возникнет бесконечное множество «микроотрезков» , которые уже невозможно охарактеризовать их длинами.

Изначально мы имели отрезок единичной длины. После первого шага – два отрезка длиной 1/3. После второго шага – четыре отрезка длиной 1/9, после третьего шага – восемь отрезков длиной 1/27. После n-го шага – 2ⁿ длиной 1/3ⁿ. После счетного множества шагов из единичного отрезка будет удалено

1/3 + 2(1/9) + 4(1/27) + .. = 1, то есть вся длина.

Размерность d канторовского множества при N и u0 определяется соотношением 2ⁿ = (3ⁿ)^d, откуда d = log2/log3  0,63. Канторовскому множеству, которое уже невозможно мыслить как совокупность одномерных отрезков, соответствует дробная размерность, заключенная между 0 (размерность точки) и 1 (размерность линии).

Фрактальные объекты дают возможность по-новому взглянуть на удивительный мир форм, существующих в природе. Большинство этих форм не являются правильными геометрическими объектами, но могут быть охарактеризованы дробными размерностями.

Например, облако является не объемным телом или поверхностью, а некоторым промежуточным геометрическим объектом с размерностью, заключенной между 2 и 3.

Открытие аттракторов с фрактальными размерностями позволяет по-новому увидеть поведение объектов во времени.

Фрактальный аттрактор обладает необычайно тонкой структурой, которая выражает очень сложное поведение во времени.

Понятие аттрактора (особая точка, предельный цикл) - синоним устойчивости и воспроизводимости (выхода «на то же самое») при любых начальных условиях.

Какова размерность странных аттракторов?

Дробная

«Аттрактор определяет режимы, «чувствительные к начальным условиям»». Объясните.

Аттракторы с фрактальными размерностями порождают типы поведения, которые невозможно ни предсказать, ни воспроизвести. В любой области странного аттрактора, сколь бы мала она ни была, обнаруживается одна и та же сложная структура. Малейшее различие в начальных условиях или малейшее возмущение не затухает, а усиливается аттрактором. Аттрактор определяет режимы, «чувствительные к начальным условиям».