2.5. Причина. В теории динамических систем под причиной обычно понимают начальные условия или импульсные внешние воздействия, которые приводят к определенному результату – следствию.

Словосочетание «вскрыть причинно-следственные связи» означает «понять динамику промежуточных процессов».

Предполагается, что причины и следствия соизмеримы. Для устойчивых или нейтральных процессов это всегда имеет место.

В неустойчивых системах ситуация принципиально иная: очень малая величина приводит к следствию, несоизмеримому по масштабам с причиной. В таких случаях говорят, что причиной явилась неустойчивость, а не малое начальное воздействие.

Хаотические системы характеризуются временным горизонтом, который определяется временем Ляпунова (1/), выполняющего роль внутреннего масштаба времени хаотических систем.

В течение этого времени сохраняет смысл выражение «две одинаковые (одни и те же) системы». Чтобы увеличить интервал времени, в течение которого можно предсказывать траекторию, необходимо увеличивать точность, с которой задано начальное состояние, то есть сузить класс систем, называемых «одними и теми же». Чтобы увеличить в 10 раз время Ляпунова, необходимо увеличить точность задания начального состояния в e¹⁰ раз.

Временной горизонт хаотической системы порождает принципиальное различие между «теперь» и «потом».

Эволюция за пределами ляпуновского времени не допускает индивидуального описания, выражается только в терминах вероятностного описания, одного и того же для всех систем, характеризуемых одним и тем же хаотическим аттрактором, каким бы ни было их начальное условие.

Это – определение хаоса через отрицание возможности предсказания индивидуального поведения при любом уровне нашего знания.

Для хаотических систем законы природы необходимо формулировать в терминах эволюции распределений вероятности, а не в терминах индивидуальных траекторий.

Современные странные аттракторы (фрактальные и не фрактальные) служат великолепной иллюстрацией разнообразнейшего поведения диссипативных систем. Благодаря им меняется наш подход к миру природы. Он становится менее обобщающим и более разведывающим.

2.6. Вероятность. В устойчивых динамических системах понятие «Вероятность» не употребляется и, более того, не имеет смысла. В неустойчивых системах, напротив, достоверные предсказания не имеют смысла и можно говорить лишь о вероятности того или иного результата.

2.7. Неустойчивость. Явление, которое возникает в рамках динамических уравнений, но приводит к тому, что они (уравнения) перестают быть полными. Неустойчивость можно установить (найти числа Ляпунова), но предсказать результат процесса при этом невозможно.

Понятие «Неустойчивость» существенно расширяет и изменяет аксиоматику динамических систем. Ярким следствием этого свойства является «динамический хаос».

Существует класс динамических систем, в которых хаотический режим возникает в некоторых областях фазового пространства. Такие области называют странными аттракторами.

Фазовые траектории входят в эти области (отсюда и термин «аттрактор»), но не выходят из них, запутываются внутри (отсюда термин «странный»).

Странные аттракторы можно рассматривать как стационарные состояния, но не стянутые к одной точке, а размазанные по области фазового пространства. В природе такие системы распространены гораздо шире. Чем можно было бы предположить.