2. Хаотические непериодические режимы динамических систем. Странные аттракторы

Странный аттрактор

Слово «странный» оправдывают два свойства аттрактора:

Необычность его геометрической структуры:

Она не может быть представлена в виде геометрических элементов целой размерности. Размерность странного аттрактора – дробная.

Странный аттрактор – это притягивающая область для траекторий из окрестных областей, динамически неустойчивых внутри странного аттрактора.

Странный аттрактор существует только в диссипативных системах размерности n≥3.

Синай Я.Г. (1996): Пять свойств, в некотором смысле усиливающих друг друга, следует называть статистическими:

- существование конечной инвариантной меры:

- эргодичность;

- перемешивание;

справедливость ЦПТ;

экспоненциальное убывание корреляций.

В случае конечного числа стационарных точек и конечного числа предельных циклов может иметь место лишь первое (или первое и второе) из указанных свойств.

Стохастические аттракторы (Синай Я.Г. (1976)): Предельная динамическая система обладает сильными стохастическим свойствами6 для нее имеют место, по крайней мере, три из указанных выше свойств.

Аттрактор А называется стохастическим, если для любого начального распределения P₀ с плотность p₀ на X, сконцентрированного в некоторой окрестности аттрактора А, его сдвиги при t сходятся к некоторому инвариантному распределению P на А, не зависящему от P₀; предельное распределение обладает перемешиванием , то есть автокорреляции стремятся к 0 при t.

Еще более сильными статистическими свойствами обладает гиперболический аттрактор А. Движение на таком А и в его окрестности обладает экспоненциальной неустойчивостью, является странным, его размерность может быть дробной.

С точки зрения теории вероятностей динамическая система, возникающая на таком А, изоморфна цепи Маркова.

2.3. Абсолютно изолированные системы. Это понятие можно ввести (и то далеко не всегда) как предел неизолированной системы при стремлении к нулю величины внешнего воздействия.

Для устойчивых систем такой предел существует, и, следовательно, понятие изолированной системы остается в силе. Для неустойчивых систем такого предела, вообще говоря, нет.

Действительно, предел величины x(t) =  e^t (где  > 0) при 0 и t зависит от порядка стремления аргументов к своим пределам. Формально величину  (она отражает меру внешних воздействий) и время t можно считать независимыми. При сравнительно небольших отрезках времени фактор e^t возрастает столь сильно. что компенсировать его уменьшением  - задача абсурдная. Экспоненциальная зависимость e^t настолько сильна, что конкурировать с ней практически невозможно. Поэтому для неустойчивых систем понятие «абсолютно изолированная система» теряет смысл. Можно говорить только об относительно изолированной системе.

2.4. Бесконечно малое и бесконечно большое. В связи с явлением неустойчивости возникает необходимость пересмотреть такие понятия как «бесконечно малое» и «бесконечно большое».

При небольших отрезках времени, когда отклонения малы, а возмущением можно пренебречь, динамическим расчетам можно доверять даже в случае их неустойчивости.

Условиями доверия являются: t  1/Re  и x(t) << 1. Время t  1/Re  называется интервалом предсказуемости (или горизонтом прогнозирования). При больших отрезках времени (Re t = 100  1000) отклонение x(t) станет большим при любых реальных возмущениях. Чтобы пренебречь возмущениями, необходимо изолировать систему с точностью до x₀  e ^–1000, что невозможно. При этом неважно, в каких единицах измеряются значения x₀ и x(t).

Любые физические величины (длины, массы, временные интервалы, числа частиц и т.д.) в нашем мире ограничены, т.е. выражаются числами в интервале от (10^-100 до 10⁺¹⁰⁰). Большие (или меньшие) числа могут появиться лишь в результате расчета, в котором фигурируют экспоненциальная или же более мощная функция. В связи с этим Эдваром Каснером было введено понятие «гугол» - столь большое число (более 10⁺¹⁰⁰), которое не может соответствовать никакой физической величине.

Возмущение является физической величиной. Поэтому начальное отклонение не может быть меньше 10^-100, тогда как Re t может стать более 100.

Обратный “гугол”, формальнор являющийся конечной величиной, реально рассматривается как величина бесконечно малая.

Вопрос, как ведет себя функция внутри интервала порядка, соизмеримого с обратным «гуголом», лишен смысла. Функцию на таком интервале следует заменить числом (средним по интервалу), поскольку более детальное ее поведение принципиально не наблюдаемо. Это утверждение играет важную практическую роль.