Существуют фундаментальные ограничения на возможность прогнозов в нелинейных системах.

1.2. «Странность» хаотических аттракторов связана с их геометрическими свойствами. Часто эти объекты имеют сложную структуру, обладающую масштабной инвариантностью. В мелком масштабе они выглядят также, как в крупном.

Вычисление ляпуновских показателей в тех случаях, когда известна функция F(x), достаточно просто осуществляется с помощью компьютера.

Система рассматривается в вариациях.

Пусть известна траектория x(t). Рассмотрим близкую траекторию

x*(t) = x(t) +  t.

Матрица A(x) = D(F(x))/D(x) – матрица системы (якобиан), линеаризованной в окрестности траектории x(t).

Если траектории x(t) и x*(t) бесконечно близки, то членами, квадратичными по (t) можно пренебречь. Отклонение x(t) от x*(t) определяется системой в вариациях для (t):

(t) = A(x(t)) (t), (4)

 = lim [1/t ||(t)|| / ||₀||], ₀ = (t=0). (5)

t

Определенный таким образом ляпуновский показатель  эквивалентен заданному выражением (3). Использование формул (4), (5) в расчетах более предпочтительно.

Чтобы определить старший ляпуновский показатель, наряду с исходным уравнением (1) считают систему в вариациях (4).

Чтобы решение (t) не было слишком большим, через определенный интервал времени его перенормируют (делят на достаточно большое число). В соответствии с этим модифицируются формулы (4) и (5).

Перенормировка нужна, чтобы повысить точность определения показателей. Взяв наугад (t=0), обычно находят первый ляпуновский показатель ₁. Чтобы оценить k показателей ₁, ₂, _k, считают k систем в вариациях. Вычисляют k-мерный объем и пользуются соотношениями, аналогичными формуле (5).

Через определенное время приходится выполнять не только перенормировку, но и ортогонализацию, поскольку ₁, ₂, …, _k, с течением времени стремятся повернуться вдоль ₁, соответствующего наибольшему ляпуновскиму показателю.

В настоящее время ляпуновкие показатели являются наиболее эффективно и просто вычисляемыми характеристиками динамического хаоса.

1. Показатели Ляпунова

Величины _i являются решениями алгебраического уравнения

det |a_ij - _ij_i| = 0 (6)

_ij – символ Кронекера такой, что _ij = 0, если ij и _ij = 1, если i=j.

_i – показатели Ляпунова.

Если ляпуновские показатели отрицательны, то все x_i(t) убывают со временем, поэтому состояние устойчиво. Система после возмущающего воздействия стремится вернуться в стационарное состояние.

Если хотя бы одно из чисел Ляпунова положительно, состояние будет неустойчивым.

В общем случае числа Ляпунова могут быть комплексными. Устойчивость определяется знаком действительной части комплексного числа.

Если среди чисел Ляпунова имеются чисто мнимые или равные нулю, то стационарное состояние называется нейтральным. При отклонении от этого состояния не возникают ни отклоняющие, ни возвращающие силы.

2.1. Анализ неустойчивых движений. Определяется временная зависимость малых отклонений от заданной траектории. Числа Ляпунова при этом уже не постоянны, а зависят от времени.

Траектория неустойчива, если среди ляпуновских показателей имеются такие, вещественные части которых положительны в достаточно большом интервале времени t таком, что t (t) >> 1.

Показатели Ляпунова играют большую роль в теории устойчивости движения. Они являются характеристическими или собственными числами системы.

Они не зависят от начальных условий. Устойчивость (или неустойчивость) является внутренним свойством исследуемой системы, а не результатом внешнего воздействия на систему.

Проявляется устойчивость (неустойчивость) только при малых внешних возмущениях.

Эта особенность привела к важным метологическим последствиям. Сейчас приходится пересматривать и подвергать ревизии некоторые , казалось бы установившиеся в физике понятия.