Странные аттракторы. Динамический хаос

1. Узел, фокус, предельный цикл – математические образы установившихся режимов

Аттракторы вида узел, фокус и предельный цикл являются математическими образами установившихся режимов в динамических системах.

Принадлежащие аттрактору траектории устойчивы.

Это свойство позволяет предсказывать поведение таких систем, даже если начальные условия x₀ известны с некоторой погрешностью.

Объекты, получившие название странных аттракторов, открыты в начале 60-х американским метеорологом Э. Лоренцем при исследовании упрощенной математической модели физики атмосферы. Они описывают непериодические хаотические режимы в динамических системах вида

dx/dt = F(x), x(t₀) = x₀ (1)

Странные аттракторы не обладают свойством устойчивости:

пусть x₀ – любое малое отклонение в начале траектории, тогда

||x(t, x₀) – x(t, x₀ + x₀)||  e^t||x₀||,  > 0. (2)

Отсюда следует, что при t  T будет теряться какая-либо информация о положении системы dx/dt = F(x) в фазовом пространстве. Такой вывод означает, что в классическом смысле задачи, связанные с изучением странных аттракторов, не корректны. В корректных задачах теоремы существования и единственности решений выполняются на конечном интервале 0  t  T. Необходимо, чтобы существовала некоторая величина , которая гарантировала бы близость траекторий при 0  t  . Это условие фигурирует в ляпуновской теории устойчивости решений.

Для странного аттрактора такого условия нет.

Это не связано с несовершенством формализма обыкновенных дифференциальных уравнений. Причиной является физическое явление динамического хаоса.

Странные аттракторы являются математическим образом установившегося хаотического поведения в динамических системах.

Странные аттракторы существуют даже в сравнительно простых системах трех дифференциальных уравнений, в правые части которых входят только линейные и квадратичные члены.

1.1. «Странность» странных аттракторов связана с их чувствительностью к начальным данным.

Две близкие точки x₁₀ и x₂₀ , лежащие на аттракторе, отстоят одна от другой на расстояние d₀. Со временем это расстояние меняется d_t = | x_1t – x_2t |.

Если аттрактор – особая точка, то d_t = 0.

Если аттрактор – предельный цикл, то d_t – периодическая функция времени.

Если аттрактор – странный, то d_t = e^t,  > 0.

Чтобы величина  характеризовала аттрактор, надо рассматривать бесконечно близкие траектории и среднюю скорость их разбегания на большом интервале времени.

( x₁₀,  ) = lim lim [(1/t) ln (d_t/d₀)], . (3)

t, d₀0

 - вектор от x₁₀ до x₂₀

Выбирая различные точки х₁₀ и x₂₀ , можно получать разные числа .

В 1968 г. В. Оселедец показал, что при весьма общих условиях почти все точки х₁₀ и x₂₀ в окрестности странного аттрактора в N-мерной динамической системе будут давать один и тот же набор ляпуновских показателей ₁, ₂,… _N.

 - характеризует изменение длины отрезка d_t.= |x_1t – x_2t |.

Изменение площади треугольника с вершинами х_1t, х_2t, х_3t пропорционально

exp (₁ + ₂)t.

₁ - характеризует изменение длины d₁.= |x_1t – x_2t |,

₂ - изменение длины d₂.= |x_2t – x_3t|.

Изменение N-мерного объема пропорционально

exp (₁ + ₂ + _N)t.

N-мерный объем малого элемента в фазовом пространстве N-мерной диссипативной системы для аттракторов сокращается

_i < 0.

1  i  N

Если аттрактор точка или цикл, то, наблюдая за системой достаточно долго, можно дать достоверный прогноз даже, если х_t известен с некоторой ошибкой. Ведь d_t не будет расти.

Положительные ляпуновские показатели и связанная с этим чувствительность к начальным данным заставляют по-иному смотреть на саму возможность предсказания явлений природы. У странного аттрактора через время  1/ две близкие вначале траектории с течением времени перестанут быть близкими.