Сис анализ, полный курс / Диссипативные системы

Диссипативные системы

Это уравнение допускает детальное качественное исследование. Для этого уравнения можно:

• определить все аттракторы;

• доказать, что именно к ним при t сходятся все траектории;

• указать, при каких начальных данных траектории выходят на определенный аттрактор.

До сих пор мы имели дело именно с такими уравнениями: уравнение математического маятника, уравнение Ресслера, уравнение роста населения Земли.

Нас интересовали установившиеся режимы и асимптотическое поведение решений при t.

Математическим образами установившегося режима является притягательное множество в фазовом пространстве – аттрактор. Аттракторы обладают качественными особенностями. Одни аттракторы описывают не меняющиеся во времени переменные, другие – периодические или более сложные режимы. Важно знать число и тип аттракторов. Важно знать множество начальных данных, с которых происходит выход системы на определенный аттрактор (область притяжения аттрактора).

Эти вопросы рассматривает качественная теория дифференциальных уравнений. Результаты этой теории являются очень общими. Они показывают, что огромное количество нелинейных систем ведет себя одинаковым образом.

Качественный анализ дифференциальных уравнений стал особо актуальным для приложений в 30-е годы в связи с анализом радиотехнических систем. Было установлено, что работа генераторов и ряда других электронных приборов тесно связана с реализацией режимов, описываемых устойчивыми предельными циклами. Возникла теория колебаний^1,2.

Вблизи аттракторов вид траекторий известен. Вдали от равновесий вид фазовых траекторий может быть сложным. Возникает вопрос об упрощении вида траекторий в фазовом пространстве путем замены фазовых переменных, как на приведенных рисунках.

Найти одну такую замену глобально для всего фазового пространства не удается. Решение такой задачи можно получить только в ограниченной окрестности пространства. Существует теорема о выпрямлении векторного поля в N-мерном фазовом пространстве. Прямое и обратное отображения траекторий вдали от особых точек осуществляются дифференцируемыми функциями и являются взаимно однозначными (диффеоморфизмы).

Вдали от особых точек все динамические системы локально эквивалентны простейшему дифференциальному уравнению x = с, y = 0.

Устойчивость особых точек уравнения x = F(x) определяется линейным членом, когда соответствующая производная не равна нулю. Это дает надежду на возможность приведения к каноническому виду и создания классификации. К одному классу можно отнести все динамические системы, которые локально можно привести к одному и тому же каноническому виду.

Всегда интересно анализировать не одно уравнение, а целое семейство динамических систем x = F(x, ) и привести это семейство к каноническому виду в некоторой окрестности фазового пространства и пространства параметров . При этом очень важной оказывается идея типичности, грубости, структурной устойчивости (А.А. Андронов, Л.С. Понтрягин).

Смысл этой идеи очень прост. При математическом моделировании различных объектов и процессов мы знаем параметры уравнений с конечной точностью, а сами уравнения являются приближенными. Естественно потребовать, чтобы математические модели описывались уравнениями, качественные свойства которых не меняются при небольших возмущениях («шевелении») параметров. Реализация идей локального анализа привела к возникновению и развитию таких разделов математики как теория нормальных форм, теория бифуркаций, теория катастроф, играющих важную роль в моделировании нелинейных явлений.

Во многих случаях важно представлять решение не только локально, в малой окрестности точек фазового пространства, но и глобально. Например, важно знать, сколько и каких аттракторов имеет изучаемая система, как может измениться число и тип аттракторов при изменении параметров.

В физике известны законы сохранения непрерывных величин, таких как энергия, импульс, момент импульса. Наряду с этим известны законы сохранения другого типа. Могут сохраняться дискретные величины, например, барионный или электрический заряды. Если в системе рождается барион с зарядом +1, то должен родиться и антибарион с зарядом -1, электрон может рождаться только в паре с позитроном. Аналогичная этому ситуация имеет место и в уравнении x = F(x). Исследование этой ситуации помогает объяснить идею глобального анализа нелинейных динамических систем. Можно говорить, что состояние равновесия (F(x_i)=0) обладает топологическим зарядом q, равным -1, если dv(x_i)/dx < 0; +1, если dv(x_i)/dx > 0 и 0, если dv(x_i)/dx = 0. Сумму топологических зарядов всех положений равновесия системы можно принять за топологический заряд системы. Для всех динамических систем с непрерывной функцией F(x) выполняется утверждение топологический заряд равен нулю.

Более глубокие и содержательные рассуждения, опирающиеся на понятие непрерывности, на возможность анализировать свойства геометрических объектов, сохраняющиеся при непрерывных преобразованиях, легли в основу топологии. А. Пуанкаре считал топологию (геометрию положения) сложным абстрактным разделом анализа. Топологические методы позволили получить важные общие результаты для больших классов нелинейных математических моделей, а также предсказать ряд новых физических явлений.

2. Уравнение автокаталитической реакции (брюсселятор)

Рассмотрим уравнение брюсселятора (научная школа нобелевского лауреата И.Р. Пригожина в Брюсселе).

Согласно закону действия масс химическое взаимодействие веществ X и Y, сопровождающееся возникновением третьего вещества Z, условно записывается как X+ Y  Z. Скорость изменения концентрации вещества Z пропорциональна произведению концентраций веществ X и Y: Z = k X Y, где k - коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент можно принять постоянным, зависящим от размеров молекул, их скорости и др. факторов. Если n молекул вещества X взаимодействуют с одной молекулой вещества Y, то изменение концентрации Z пропорционально XⁿY.

A - k1 k1 X	Концентрации веществ A и B поддерживаются постоянными. Вещества D и E каким-то способом удаляются, так что концентрации D и E можно считать постоянными. Все внимание можно сосредоточить на тримолекулярной стадии реакции.
B + X -k2 k2 Y + D
2X + Y –k3 k3 3X
X – k4 k4 E

Скоростями обратных реакций –k₁, –k₂, –k₃, –k₄, можно пренебречь по сравнению со скоростями прямых реакций k₁, k₂, k₃, k₄.

A X B + X Y + D 2X + Y 3X X E

Исходные продукты A и B

Конечные продукты E и D

Продукты промежуточных стадий реакции X и Y.

Каждый замкнутый контур, содержащий одно промежуточное вещество, свидетельствует о наличии одной моли этого вещества в соответствующей фазе реакции

dX/dt = A – (B+1)X + X²Y Система двух нелинейных уравнений

dY/dt = B X - X²Y Переменные в уравнении соответству-

ющим образом обезразмерены.

Точки равновесия:

A – (B+1)X + X²Y = 0 X = A P₀(A, B/A)

B X - X²Y = 0 Y = B/A

В окрестности P₀(A, B/A):

X = A + x Здесь x и y - отклонения концентраций от

Y = B/A + y равновесных значений.

x = A–(B+1)(A+x)+(A+x)²(B/A+y) = x(B-1)+y(A²)+x²(B/A)+2xyA+x²y.

y = B(x+A)-(A+x)²(B/A+y) = -Bx - (B/A) x²-yA² – 2Axy – x²y/

Для исследования устойчивости используется линейное приближение динамики системы в малой окрестности положения равновесия.

x = x(B-1)+y(A²) Характеристическое уравнение

y = -Bx - yA² ² + (1+A²-B)  + A² = 0

Концентрации исходных веществ:

A = 1, B – управляющий параметр

Характеристическое уравнение при этих значениях: ² + (2-B)  + 1 = 0

B < 2 P₀ – устойчивый фокус

B > 2 P₀ – неустойчивый фокус

B = 2 рождение цикла (бифуркация Хопфа)

При изменении параметра B (в направлении роста) меняется структура фазового пространства:

устойчивый фокус – рождение цикла – неустойчивый фокус.

Помимо нелинейной реакции во времени данное уравнение демонстрирует еще и пространственную самоорганизацию.

Пусть r[0,1] -продольная координата. Вдоль этой координаты происходит диффузия химических веществ X и Y, D_x и D_y. - коэффициенты диффузии.

 X/ t = A – (B+1)X + X²Y + D_x ²X/ r²

 Y/ t = B X - X²Y + D_y ²X/ r²

Условие равновесия:

A – (B+1)X + X²Y + D_x ²X/ r² = 0 X = A

B X - X²Y + D_y ²Y/ r² = 0 Y = B/A

Это решение совместимо с краевыми условиями.

Линейную устойчивость определяют:

 x/ t = (B-1)x + A²y + D_x ²x/ r²

 y/ t = -B x - A²y + D_y ²y/ r²

Решения этих уравнений в частных производных имеют вид:

x(r,t) = x₀ e^t sin(nr) Эти решения дают не только установившиеся

y(r,t) = y₀ e^t sin(nr) состояния, но и периодические по времени соб-

ственные функции.

Система имеет изменяющуюся по периодическому закону пространственную структуру.

Пространственные и временные структуры могут спонтанно возникать из-за неустойчивости основной термодинамической ветви.

Если зафиксировать начальные концентрации X(r, 0), Y(r, 0) и увеличивать B при A = const, то, начиная с некоторого критического значения B_кр , система выходит на немонотонные стационарные распределения концентраций.

Это неожиданный результат. Кажется очевидным, что распределения концентраций реагирующих веществ по горизонтали должны быть однородными (сила тяжести действует по вертикали). Однако это не так. В среде возникают структуры. Одни реагенты могут оказаться сосредоточенными в одних частях реактора, другие – в других. Как же тогда меняются скорости протекания реакций? Какая концентрация веществ будет оптимальной ?

Стационарные решения X = A, Y = B/A удовлетворяют краевой задаче при всех B. При B > B_кр появляются несколько стационарных решений. Происходит ветвление решений – бифуркация.

Мы фиксировали начальные концентрации и изменяли значения B. Теперь зафиксируем какое-нибудь закритическое значение B > B_кр и будем менять профили начальных концентраций X(r, 0), Y(r, 0). При одних начальных данных мы получим один стационар, при других – другой. При этом выход на один и тот же стационар возможен из целого класса начальных условий. Система как бы «забывает» о различии начальных данных. В линейной системе такое невозможно.

Если решение X = A, Y = B/A «поставлено точно», то оно меняться не будет. Однако даже малые отклонения при определенных условиях будут очень быстро нарастать и выведут систему на один из неоднородных устойчивых стационаров. Такие малые отклонения (флуктуации) определяют всю дальнейшую судьбу нелинейной системы.

Возможно, что именно в необходимости учитывать флуктуации, которые, нарастая, могут изменить основные характеристики процессов, кроется одно из основных отличий сложных систем от простых. Даже слабое воздействие на нелинейную систему в зоне B_кр может изменить ее дальнейшую судьбу. Этот факт есть проявление резонансного возбуждения, вследствие которого воздействие, согласованное с внутренними свойствами нелинейной системы, очень сильно влияет на нее. Вдали от B_кр влияние такого воздействия не ощущается.

Мы умеем предсказывать величину B_кр , начиная с которой будут возникать структуры. Ответим на вопрос, почему при B < B_кр структуры не возникают.

Отклонения от термодинамической ветви в области B < B_кр настолько малы, что нелинейные члены уравнения гораздо меньше линейных. Решения полного уравнения близки к решению уравнения линейного приближения. Для линейного приближения справедлив принцип суперпозиции. Общее решение можно «сшить» из частных. Если для всех _i имеет место Re_i < 0, то каждое частное решение убывает и отклонение от термодинамической ветви также убывает. Идея А.М. Ляпунова об устойчивости систем, описываемых ОДУ³, работает при линейных приближениях в области точек равновесия. В линейной задаче как бы «заложено» значение параметра B_кр , начиная с которого будут появляться структуры. Линеаризация недопустима при очень интенсивных воздействиях на систему, а также тогда, когда система открыта и далека от положения равновесия. Именно эти случаи наиболее интересны современной науке. Их понимание основано на нелинейном анализе, дающем более полную и глубокую картину изучаемых объектов и процессов.

Нелинейность стабилизирует процессы, о росте которых говорит линейная задача. При B > B_кр возможно возникновение нескольких типов структур. Предсказание спектра решений, характера изменчивости, зависимости изменчивости от параметра B возможно только в результате нелинейного анализа системы.

Рассмотрим более подробно пространственную самоорганизию на примере брюсселятора.

 x_i / t = 1/ F_i(x₁,…,x_n)+D_ix_i, i = 1,…,n (1)

D_i – коэффициент диффузии i-го компонента массы вещества.

 = ² / r² + ² / u² + ² / v² – оператор Лапласа.

x_i - концентрация вещества.

F_i(x₁,…,x_n) – описание химической реакции в заданной точке пространства реактора (точку определяет только значение r, поскольку пространство внутри реактора имеет в нашем случае одно измерение, координаты точки u и v равны нулю).

_I – характерный для x_i отрезок времени в F_i(x₁,…,x_n).

Реакция происходит в ограниченном пространстве реактора L. Граничные условия, которые в данном случае дополняют начальные условия, заданы: x₁ = x(r, 0), x₂ = y(r, 0).

Случай быстрого перемешивания. В уравнении (1) x_i не зависит от пространственных координат (r, u, v), в нашем случае положение точки в пространстве реактора задается величиной r. x_i = 0.

Уравнение (1) сводится к уравнению во времени без учета диффузии.

 x_i / t = 1/ F_i(x₁,…,x_n)+D_ix_i, i = 1,…,n (1)

 x_i / t = 1/ F_i(x₁,…,x_n) В любой точке реактора процесс идет одинаковым образом подобно процессу в точечной модели временной динамики. Уравнение описывает систему с полным перемешиванием.

Коэффициенты диффузии в уравнении (1) большие, длина диффузии l_i большая (близки к размеру реактора L). В этом случает имеет место l_i =  D_i_I ≥ L. Данный случай похож на полное перемешивание.

Случай l_i < L. Система распределенная. Уравнение (1) описывает характерные для распределенных систем явления самоорганизации (пространственные неоднородности): - образование фронтов, - бегущие импульсы, - диссипативные структуры.

Задачи Дирихле и Коши. Основная цель задачи Коши - предсказать будущее, если известно настоящее (т.е. начальное условие). Аргументом в задачах Коши является время t, поскольку в противном случае понятие "будущее" и "настоящее" теряет смысл.

Понятие устойчивости также имеет смысл только в задачах Коши, но не в задачах Дирихле. Движение по неустойчивым траекториям (в частности по сепаратрисе, т.е. гетероклинике) в задачах Коши не реализуется.

В задачах Дирихле аргументом является пространственная переменная r и это тоже принципиально. Основная цель задач Дирихле не предсказать будущее, а вычислить распределение переменных x_i в пространстве, если известно, что на границах эти переменные (или их пространственные производные) зафиксированы и не зависят от времени.

Анализ устойчивости таких систем выходит за рамки задачи Дирихле. Неустойчивые в задаче Коши траектории в задаче Дирихле соответствуют вполне реальным распределениям.

В распределенных системах мы имеем дело со смешанной постановкой, где участвуют и условия типа Коши, и условия типа Дирихле. Как они сочетаются?

Решение:

x(r,t) = x₀e^tSin(nr)

y(r,t) = y₀e^tSin(nr)

Эти решения соответствуют дифференциальным уравнениям

dx(r,t)/dt = a₁₁x + a₁₂y + D_xk²x

dy(r,t)/dt = a₂₁x + a₂₂y + D_yk²y

В этих уравнениях нет пространственных координат (r). По форме они подобны уравнениям точечным уравнениям динамики. Их устойчивость можно исследовать обычным образом.

Эти уравнения уже не содержат производных по пространственной координате r и по форме являются точечными.

Исследование их на устойчивость можно провести стандартными методами и найти числа Ляпунова, которые зависят от параметров А, В, D_x, D_y и волнового числа k_n².

На рисунке представлена зависимость вещественной части чисел Ляпунова от k_n². Эта зависимость называется дисперсионной диаграммой. При k_n²=0 числа Ляпунова совпадают с таковыми для точечной системы. Cтационарное состояние этой системы - устойчивый фокус (числа Ляпунова комплексны и сопряжены, реальные части их одинаковы и отрицательны).

С увеличением k_n² фокус переходит в устойчивый узел, при этом числа Ляпунова становятся вещественными и отрицательными.

При некотрых, (бифуракционных) значениях параметров А, В, D_x, D_y верхняя ветвь параболы Re (k)² касается абсциссы, и даже слегка выходит в верхнюю полуплоскость. При этом в интервале (k_min², k_max²) одно из чисел Ляпунова становится положительным, а стационарное состояние - седлом.

Если в этот интервал попадает одно из дискретных, разрешенных граничными условиями значений k_n², амплитуда соответствующей моды начинает расти со временем. Это явление называется неустойчивостью Тmюринга (или бифуркацией Тьюринга).

Подчеркнем особенности этой бифуркации. 1) Она имеет место только в распределенных в пространстве системах. При этом нарушается исходная однородность и сама собой возникает структура.

2) Образуется вполне определения структура (т.е. предопределено значение k_n² и, следовательно пространственный период, который зависит от параметров системы(включая размеры), но не зависит от начальных условий.

3) Вблизи бифуркации Тьюринга учет нелинейных членов приводит к стабилизации структуры. При этом структура остается плавной (гармонической), со вполне определенной амплитудой, зависящей от тех же параметров.

4) В системе имеется только одно устойчивое стационарное состояние (один аттрактор) свойства которого предопределены параметрами, но не начальными условиями.

5) Выбор диссипативной структуры (либо случайный, либо за счет начальных условий) в системах типа (1) невозможен, поскольку она единственна.

Понятие "диссипативная структура" сейчас употребляется очень часто. В действительности область применимости гармоничных диссипативных структур ограничена. Так при D_x>>D_y образуются так называемые контрастные структуры, которые иногда также называются диссипативными, хотя и условно, поскольку по свойствам и методам исследования они сильно отличаются от описанных выше.

Очень интересные явления происходят в системах с режимом обостренияvи. При этом в определенный точке сама собой собирается (кумулируется) почти вся энергия изначально распределенная в широком интервале пространства. Это явление уже никак не относится к диссипативным структурам.

Другой круг явлений тоже очень важных, связан с образованием автоволн в активной среде. Под автоволнами понимаются не только "волны" но и отдельные импульсы, которые распространяются без затухания (за счет подпитки из среды). К таковым относятся нервные импульсы. Они описываются распределенными моделями Хочкина-Хаксли, или более простой (базовой) моделью Физхью-Наумо.

В двумерной среде образуются спиральные волны. Из них наиболее исследованы нелинейные волны в реакторе Белоусова-Жаботинского.

Все упомянутые явления описываются моделями типа (1). Разным явлениям соответствуют разные виды нелинейных функций F_i(x₁,…,x_n) и разное число переменных x_i (и уравнений). Впрочем, в большинстве случаев оказывается достаточным всего два базовых уравнения.

Перечисленные выше модели используются для описания широкого круга явлений в различных областях естествознания: биологии, физике, химии и смешанных науках. Можно сказать, что эти модели являются математической основой описания процессов самоорганизации в природе.

3. Диссипативные системы

Диссипативные системы представляют собой весьма широкий и важный класс естественных систем. Ярче всего различие между консервативными и диссипативными системами проявляется при попытке макроскопического описания последних, когда для определения мгновенного состояния систем используются коллективные переменные (температура, концентрация, давление, конвективная скорость и др).

При рассмотрении уравнений, управляющих поведением этих переменных, выясняется их важная особенность: уравнения не инвариантны относительно операции обращения времени.

Уравнение эволюции диссипативных систем

 x_i/ t = F_i (x₁, x₂, .., x_n, r, t, ..). (1)

F_i могут сколь угодно сложным образом зависеть от переменных x и их пространственных производных и явным образом - от пространственных координат r и времени t.

1) Если в этом уравнении совершить операцию обращения времени t* = - t, то по меньшей мере одна из функций F_i, соответствующая четной переменной x_i, должна будет содержать инвариантную часть, в то время как функция F_i,, соответствующая нечетной переменной x_i, должна будет содержать часть, меняющую знак при обращении времени.

Концентрация и температура - примеры четных переменных. Импульс частиц, конвективная скорость жидкости - нечетные переменные

2) Второе существенное различие между консервативными и диссипативными системами связано со вторым законом термодинамики и его многочисленными следствиями.

Фазовое пространство диссипативных систем включает ансамбль имеющихся переменных.

В случае непрерывной среды - это бесконечномерное пространство, в котором различные характеристики системы являются пространственно распределенными величинами. Удобнее всего работать с фазовым пространством, когда оно содержит дискретное число переменных и когда это число конечно и невелико.