Вопрос №20

Векторное произведение векторов.

Упорядоченная тройка векторовназывается правой, если наблюдателю, находящемуся на конце вектора, кратчайший поворот отккажется происходящим против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов левая.

Векторным произведением вектора на векторназывается третий вектор, определяемый следующим образом:

1) длина его равна площади параллелограмма, построенного на векторах и, т.е.где φ - угол между векторамии;

2) вектор перпендикулярен векторами;

3) векторы после приведения к общему началу образуют правую тройку векторов.

Свойства векторного произведения

Вопрос №21

Смешанное произведение векторов.

Смешанным произведением трех векторов называется число

Модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Пустьправая тройка векторов. Действительно, объем параллелепипеда, построенного на векторах, равен площади основанияна высоту. Здесь φ - угол между векторамии.

Знак смешанного произведения совпадает со знаком cosφ, и поэтому смешанное произведение положительно, когда тройка векторов правая, и отрицательно, если тройка векторов левая.

Если перемножаемые векторы лежат в одной плоскости (cosφ = 0), то - необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

Пусть векторы заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат .

Известно, что . Скалярно умножим этот вектор на вектори, учитывая свойства скалярного произведения, получим

Это выражение может быть получено при вычислении определителя по элементам третьей строки, исходя из правила вычисления определителя.

Поэтому смешанное произведение трех векторов обозначают как , не подчеркивая при этом, какая пара векторов умножается векторно.

Вопрос №22

Прямая на плоскости. Через две точки проходит единственная прямая и через точку, лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной

Различные формы уравнения прямой.

Уравнение прямой на плоскости. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 ≠ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

- C = 0, А ≠ 0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

- А = 0, В ≠ 0, С ≠ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

- В = 0, А ≠ 0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

- В = С = 0, А ≠ 0 – прямая совпадает с осью Оу

- А = С = 0, В ≠ 0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой по точке и вектору нормали. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки. Пусть в пространстве заданы две точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки: .

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается: если х₁ ≠ х₂ и х = х₁, если х₁ = х₂. Дробь = k называетсяугловым коэффициентом прямой.

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту. Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду: и обозначить, то полученное уравнение называетсяуравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору. Каждый ненулевой вектор (a₁, a₂), компоненты которого удовлетворяют условию Аa₁ + Вa₂ = 0 называется направляющим вектором прямой Ах + Ву + С = 0.

Нормальное уравнение прямой. сли обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число

, которое называется нормирующем множителем, то получим xcosj + ysinj - p = 0 – нормальное уравнение прямой.