Вопрос №12

Векторы на плоскости и в пространстве. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Ортом вектора а называется вектор а⁰, который имеет единичную длину и то же направление, что и вектор а.

Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называются компланарными.

Два вектора считаются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и равны по длине.

Пусть даны два вектора. Параллельным переносом приведем их к общему началу. Наименьший угол, на который надо повернуть один вектор до совпадения с другим, называется углом между векторами.

1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

3) Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

Три вектора, a,b,c, называются линейно-независимыми, если они не лежат в одной плоскости.

Базисом в трехмерном пространстве R³ называется упорядоченная тройка любых линейно-независимых векторов.

Векторы и линейные операции над ними. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой двух векторов a и b называется вектор c, направленный из начала вектора a в конец вектора b при условии, что начало b совпадет с концом вектора a. Если векторы заданы их разложениями по базисным ортам, то при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.

Сумма любого конечного числа векторов может быть найдена по правилу многоугольника: чтобы построить сумму конечного числа векторов, достаточно совместить начало каждого последующего вектора с концом предыдущего и построить вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.

Разностью векторов a и b называют вектор a+(-b). Второе слагаемое является вектором, противоположным вектору b по направлению, но равным ему по длине.

Длина вектора. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Вопрос №13

Координаты на прямой. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов e₁, e₂, e₃ называется базисом в множестве всех геометрических векторов. Всякий геометрический вектор a может быть единственным образом представлен в виде a=x₁e₁+x₂e₂+x₃e₃ числа x₁ , x_{2 ,} x₃ называют координатами вектора а в базисе (e₁, e₂, e₃).

Деление отрезка в данном отношении . В координатах:

на прямой ; на плоскости,; в пространстве,,.

Вопрос №17

Линейная зависимость векторов.

Векторы называютсялинейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно a_i, т.е. . Если же только при a_i = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

Свойство 1. Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.

Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.

Условия коллинеарности, ортогональности и компланарности векторов.

Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Векторы называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называются компланарными.

Вопрос №19

Скалярное произведение и его свойства.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. Из определения следуетгде φ - угол между векторами. Скалярная величинаназываетсяпроекцией вектора на вектор .

В зависимости от значения угла между векторами, проекция может принимать отрицательные, положительные или нулевое значения.

Теперь можно написать . Из определения скалярного произведения следует, что если векторы ортогональны, то(условие ортогональности ненулевых векторов).

Свойства скалярного произведения.