Вопрос №10
Теорема Кронекера-Капелли. Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. RgA = RgA*.
Доказательство.
1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А* не изменяют ранга.
2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.
Исследование системы линейных уравнений.
Вопрос №9
Решение и исследование систем линейных уравнений методом Гаусса. Этот метод решения систем линейных уравнений пригоден для решения систем с любым числом уравнений и неизвестных.
Суть метода Гаусса заключается в преобразовании заданной системы уравнений с помощью элементарных преобразований в эквивалентную систему ступенчатого треугольного вида.
Полученная система содержит все неизвестные в первом уравнении. Во втором уравнении отсутствует первое неизвестное, в третьем уравнении отсутствуют первое и второе неизвестные и т. д.
Если система совместна и определена (единственное решение), то последнее уравнение содержит одно неизвестное. Найдя последнее неизвестное, из предыдущего уравнения находим еще одно - предпоследнее. Подставляя полученные величины неизвестных, мы последовательно найдем решение системы.
Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений, используемыми для приведения системы к треугольному виду, являются следующие преобразования:
- перестановка местами двух уравнений;
- умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля;
- прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число.
Элементарные преобразования переводят данную систему линейных алгебраических уравнений в эквивалентную систему.
Две системы называются эквивалентными, если всякое решение первой системы является решением другой системы и наоборот.
Вопрос №11
Базис и размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Базисом линейного пространства L называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства L является линейной комбинацией этих векторов. В отличие от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.
В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.
Линейное пространство L, в котором существует базис, состоящий из n векторов, называется - n мерным линейным или векторным пространством. Число n называется размерностью пространства и обозначается dimL. Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным.
Общее решение неоднородной системы линейных уравнений. Систему неоднородных уравнений запишем в матричном виде Ax = b, где матрица A имеет размеры mxn.
[T] Система линейных уравнений Ax = b может иметь либо бесконечно много решений, либо одно решение, либо не иметь решений.
[D] Пусть система имеет решение x(0).Если однородная система Ax = 0 имеет только одно решение, то из формулы общего решения будет следовать, что x(0) - единственное решение неоднородной системы. Если однородная система имеет хотя бы одно ненулевое решение, то ее фундаментальная система решений будет состоять не менее, чем из одного решения. В формуле общего решения неоднородной системы будет произвольный коэффициент С1 , и при различных его значениях мы будем получать различные решения неоднородной системы.