formal_language_theory / lectures / unit_4
.pdf
Нормальная форма Хомского
Пусть V 3 — пополненный нетерминальный N
словарь, а P3 — расширенное множество правил.
Рассмотрим КС-грамматику
G3
Докажем, что
= (
G3
V |
3 |
, |
V |
|
N |
||||
|
T , P3, S). |
эквивалентна G2.
51
Нормальная форма Хомского
III. Докажем, что L(G2) L(G3).
|
|
|
Пусть S |
* |
x. Один шаг этого вывода в |
G |
||
|
2 |
|
грамматике |
G2, на котором используются |
|
правила вида A a или A B1B2, является и шагом вывода в грамматике G3, так как по построению эти правила также входят в грамматику G3.
52
Нормальная форма Хомского
Шаг вывода в грамматике G2, на котором используется правило
A B1B2 ... Bm P2, m 3,
равносилен последовательному применению
правил
A B1D1,
D1 B2D2,
...
Dm – 3 Bm Dm – 2 Bm
–2Dm – 2,
–1Bm P3.
Поэтому имеем S * x.
G 3
53
Нормальная форма Хомского
IV. Докажем, что L(G3) L(G2).
Индукцией по длине вывода l покажем, что
если для любого A |
2 |
существует вывод |
|||
|
VN |
|
|
||
l |
|
|
* |
* |
|
A x, x V |
|||||
|
, то A x. |
||||
G 3 |
|
T |
G2 |
||
|
|
|
|||
База. Пусть l = 1. |
|
|
|
||
Если A x, |
2 |
, |
x VT* , то согласно |
||
A VN |
|||||
G 3 |
|
|
|
|
|
построению G3 |
использованное правило |
||||
A x P3
содержится также и во множестве правил P2, так как в этом случае x VT, а тогда A x.
54
Нормальная форма Хомского
Индукционная гипотеза. Предположим, что утверждение выполняется для всех 1 l n
(n 1).
l |
|
Пусть A x, где l = n + 1. |
|
G |
3 |
Индукционный переход. |
|
Этот вывод в случае, требующем доказательства, имеет следующий вид:
A
G 3 G 3
B1D1 B1B2
|
|
G |
B1B2D2 |
3 |
|
... Bm – 1Bm
|
|
G |
... |
3 |
|
* x.
G 3
B1B2 ... Bm – 2Dm – 2 |
|
G 3 |
G 3 |
|
Правило-прототип A B1B2 ... Bm P2, которое по индукции даёт тот же результат x.
55
Нормальная форма Хомского
Очевидно, что x = x1x2 |
|
|
l j |
||
... xm, где Bj xj, |
|||||
1 lj n, j = 1, 2,..., m. |
|
|
G |
||
|
|
|
3 |
||
|
|
|
|
||
|
|
* |
|
||
По индукционной гипотезе Bj xj. |
|
||||
* |
|
G |
2 |
|
|
Следовательно, A x. |
|
|
|
||
G |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
* |
|
В частности, при A = S получаем S |
|||||
x. |
|||||
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
2 |
|
Утверждение IV доказано, а вместе с ним доказано равенство
L(G2) = L(G3),
и сама теорема.
56
Нормальная форма Хомского
Пример 4.1. Рассмотрим грамматику
G = ({S, A, B}, {a, b}, P, S), в которой
P = {S aB, A a, A aS, A bAA, S bA, B b, B bS, B aBB}.
Построим эквивалентную грамматику в НФХ.
Во-первых, два правила, а именно:
A a (1) и B b (2)
уже имеют требуемый вид.
Ret 159
57
Пример 4.1. Нормальная форма Хомского
Нет никаких цепных правил, так что мы можем начать с замены терминалов в правых частях остальных правил на новые нетерминалы и построения правил для них.
Правило S aB заменяется двумя
правилами |
|
|
S С1 B (3), |
С1 a |
(4) |
Аналогично правило S bA заменяется |
||
правилами |
|
|
S С2 A (5) , |
С2 b |
(6) |
58
Пример 4.1. Нормальная форма Хомского
Вместо A aS вводится правило
A С1 S (7).
Правило A bAA заменяется на
A С2 D1 (8), D1 AA (9).
Правило B bS заменяется на
B С2 S (10).
Правило B aBB заменяется на
B С1 D2 (11) , D2 BB (12).
59
Пример 4.1. Нормальная форма Хомского
Итак, G′ = ({S, A, B, С1 , С2 , D1 , D2}, {a, b}, P′, S),
где P′ правила (1) (12).
G′ КС-грамматика в НФХ, эквивалентная грамматике G.
60