formal_language_theory / lectures / unit_4

Исключение нетерминалов из cfg, из которых выводится только конечное число терминальных цепочек

II. L(G2) L(G1).

от Ai C1C2 ... Cr P1, предполагает, что

(1) Ci = ui, если ui VT;

(2) Ci — нетерминал типа A, и Ci = ui;

(3) Ci — нетерминал типа B и Ci * ui

(i = 1, 2, ..., r).

G1

112

Исключение нетерминалов из cfg, из которых выводится только конечное число терминальных цепочек

Следовательно,

Таким образом, применение одного правила

Ai u1u2...ur P2

в выводе равносильно применению G2 нескольких правил из множества P1,

позволяющих в цепочке заменить Ai на u1u2...ur , что дает .

113

Исключение нетерминалов из cfg, из которых выводится только конечное число терминальных цепочек

Итак, каждый шаг вывода терминальной цепочки в грамматике G2 может быть заменён несколькими шагами вывода в грамматике G1, т. е. L(G2) L(G1).

Из рассуждений I и II следует, что

L(G1) = L(G2).

114

Исключение нетерминалов из cfg, из которых выводится только конечное число терминальных цепочек

Пример 4.3. Рассмотрим грамматику

G1 = ({S, A, B}, {a, b, c, d }, P1, S), где

P1 = { S ASB , S AB , A a, A b,

B c, B d }.

Легко видеть, что A порождает только цепочки a и b, а B порождает только цепочки c и d. Однако, S порождает бесконечно много цепочек.

115

Пример 4.3. Исключение нетерминалов из cfg, из которых выводится только конечное число терминальных цепочек

Правило S ASB заменяется правилами

S aSc, S aSd, S bSc, S bSd.

Аналогично, правило S AB заменяется правилами

S ac, S ad, S bc, S bd.

Новая грамматика есть

G2 = ({S}, {a, b, c, d}, P2, S), где

P2={S aSc, S aSd, S bSc, S bSd, S ac, S ad, S bc, S bd}.

116

§ 4.5. Свойство самовставленности

Определение 4.5. Говорят, что КСграмматика G является самовставленной 1), если существует нетерминал A, такой, что

1) self-embedding grammar.

117

Свойство самовставленности

Заметим, что именно свойство самовставленности является причиной появления цепочек вида uviwxiy. Это свойство самовставленности отличает строго контек- стно-свободные языки от регулярных множеств. Но отметим и то, что просто изза свойства самовставленности данной грамматики порождаемый ею язык не обязан быть нерегулярным.

118

Свойство самовставленности

Например, грамматика

G = ({S}, {a, b}, P, S), где

P = {S aSa, S aS, S a, S bS, S b},

несмотря на то, что она самовставленная, порождает регулярное множество.

Действительно, L(G) = {a, b}+, т. к. первое правило эквивалентно второму + третьему, и первое может быть удалено без изменения языка.

119

Свойство самовставленности

В этом параграфе будет показано, что КСграмматика, которая не является самовставленной, порождает регулярное множество.

Следовательно, КС-язык не регулярен тогда и только тогда, когда все его грамматики — самовставленные.

120