Разрешимые и перечислимые множества

Множество натуральных чисел называетсяразрешимым, если существует алгоритм, который по каждому натуральному числуопределяет, принадлежитмножествуили не принадлежит. Другими словами, множестворазрешимо в том и только в том случае, если егохарактеристическая функция

вычислима.

Понятно, что если множества иразрешимы, то множестватакже разрешимы. Любое конечное множество является разрешимым. Неразрешимые множества также существуют, так как разрешимые подмножества образуют счётное множество, а все подмножества множества натуральных чисел образуют множество мощности континуума.

Множество называетсяперечислимым, если его полухарактеристическая функция

является вычислимой.

Теорема 1. Пусть– подмножество множества натуральных чисел. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) множество перечислимо;

(2) есть область определения некоторой вычислимой функции;

(3) есть множество значений некоторой вычислимой функции.

Доказательство.очевидно.

Пусть – вычислимая функция с областью определенияТогда существует машина Тьюрингакоторая для каждоговычисляети останавливается, а приработает бесконечно долго. Пусть– машина, которая запоминает значение аргументаи после завершения работы машины(в случае завершения её работы) стираети записывает вместо негоТогда множество значений функции, вычисляемой машинойбудет совпадать с множеством

Пусть – множество значений функциивычисляемой машиной ТьюрингаОбозначим черезмашину, которая вначале работает, какт.е. вычисляета затем заменяетна 0. Очевидно,вычисляет

Теорема 2. Еслии– перечислимые множества, то множестваитакже перечислимы.

Доказательство. Сначала рассмотрим пересечениеПо условию существуют машины Тьюрингаивычисляющие функцииисоответственно. Обозначим черезновую машину Тьюринга, которая для каждого натурального числасначала запоминает этозатем работает каки вычисляета после окончания работы(в случае окончания работы) работает каки вычисляетЭта машина останавливается тогда и только тогда, когдапоэтому она вычисляет функцию

Докажем теперь утверждение теоремы для объединения Ввиду теоремы 1 мы можем считать, чтои– множества значений вычислимых функцийисоответственно. Положим

Тогда – вычислимая функция, множество значений которой равноПо теореме 1 множествоперечислимо.

Теорема 3. Всякое разрешимое множество натуральных чисел перечислимо. Если множествои его дополнение перечислимы, торазрешимо.

Доказательство. Пусть– разрешимое множество натуральных чисел. Тогда существует машина Тьюрингакоторая, имея на входе числовыдаёт на выходе 1 прии 0 приДобавим к программе машиныкоманды так, чтобы после перехода машиныв финальное состояние продолжение работы было следующим: 1) если на выходе 1, машина заменяет её на 0 и завершает работу, 2) если на выходе уже был 0, то машина далее работает безостановочно (например, движется направо и печатает на ленте 1). Очевидно, построенная нами машина вычисляет функциюЗначит, множествоперечислимо.

Пусть и перечислимы, аи– машины Тьюринга, вычисляющие соответственно функциииПостроим новую машину ТьюрингаОна, имея на входе числоделает вначале один шаг работы машинызатем один шаг работызатем два шага(начиная с первого), затем два шагаи т.д. По завершению работы одной из машиндальнейшие действия таковы: еслизавершила работу раньше, то заменяем выходное значение 0 на 1 и производим остановку машины, а если ранее завершится программато производится просто остановка машины. Легко видеть, что на выходе будет 1 прии 0 при Остановка произойдёт обязательно, так как по условию обе функцииивычислимы.

Замечание. На основании теоремы 3 можно сделать вывод: разрешимые множества – это в точности перечислимые множества, имеющие перечислимые дополнения.