Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать, что всякое конечное множество разрешимо.

2. Доказать, что функция вычислима. (Здесь [ ] обозначает целую часть числа).

Указание:воспользоваться равенством

3. Является ли разрешимым:

а) множество всех простых чисел;

б) множество ?

Ответ:а) да; б) да.

Указание:воспользоваться равенством

4. Даны два пересекающихся перечислимых множества иДоказать, что существуют непересекающиеся перечислимые множестваитакие, что

5. Доказать, что всякое бесконечное перечислимое множество можно записать в виде где– вычислимая функция, все значения которой различны.

6. Доказать, что всякое бесконечное перечислимое множество содержит бесконечное разрешимое подмножество.

Указание: воспользоваться результатом предыдущей задачи.

7. Пусть и– множества натуральных чисел такие, чтоДоказать, чторазрешимо (соответственно, перечислимо) в том и только в том случае, еслиразрешимо (соответственно, перечислимо).

4.5. Алгоритмически неразрешимые задачи

В разных разделах математики встречаются алгоритмически неразрешимые задачи, т.е. задачи, для которых нет алгоритма решения, причём нет не потому что его пока не придумали, а потому что он невозможен в принципе. Разумеется, алгоритм надо понимать в смысле машин Тьюринга и рекурсивных функций (см. разделы 4.1 – 4.4). Сформулируем некоторые из этих задач. Доказывать их алгоритмическую неразрешимость мы не будем, так как это выходит за рамки данного пособия.

Проблема остановки машины Тьюринга. В теореме 9 предыдущего раздела было доказано существование машины Тьюринга с неразрешимой проблемой остановки. Постановку задачи о неразрешимости проблемы остановки можно несколько расширить. Машина Тьюринга – это объект, определяемый конечным числом параметров. Все частичные отображения одного конечного множества в другое могут быть эффективным образом перенумерованы. Поэтому каждой машине Тьюринга можно присвоить номер (натуральное число). Пусть машина Тьюринга с номеромНекоторые машины, начинающие работать на пустой ленте, в конце концов останавливаются, а некоторые работают бесконечно долго. Возникает задача: по натуральному числуопределить, остановится или нет машина Тьюрингазапущенная на пустой ленте. Эта задача алгоритмически неразрешима. Другими словами, не существуетавтоматической процедуры, для каждого решающей, останавливается или нет машинаЭто не исключает того, что для какой-либо конкретной машины мы установим, останавливается она или нет. Не существует метода, решающего этосразу для всех машин.

Проблема равенства слов. Группы и полугруппы часто задаются образующими элементами и определяющими соотношениями. Например, группа подстановок на трёхэлементном множестве имеет образующие элементыии определяющие соотношенияКаждый элемент изявляется произведением элементовивзятых, возможно, несколько раз, т.е. словом в алфавитепричём это слово в общем случае не единственно. Например,иодин и тот же элемент изВозникает вопрос: равны два данных слова в группеили нет? Существует ли алгоритм, решающий этот вопрос для любых двух слов? Для группыответ положительный: алгоритм существует, и читатель сформулирует его без труда. Однако существуют полугруппы (и группы), для которых такого алгоритма нет. Итак, пусть полугруппазадана образующими элементамии соотношениями(слова от). Тогда (в общем случае) не существует алгоритма, определяющего для двух произвольных словравны они как элементы изили не равны (т.е. следует равенствоиз равенствили не следует). Кроме того, в общем случае алгоритмически неразрешим вопрос о том, будет ли полугруппаконечной (или коммутативной, или периодической).

Проблема истинности формулы. Всякая аксиоматическая теория определяется наличием аксиом и правил вывода утверждений из аксиом. Будем считать, что тех и других конечное число. Утверждения, выводимые из аксиом, называются теоремами. Пусть дана правильно построенная формула Является литеоремой, т.е. выводима лииз аксиомСуществуют аксиоматические теории, для которых алгоритмически неразрешимо выяснить для произвольной формулыявляется ли она теоремой.

Проблема существования решения диофантова уравнения. Диофантовым уравнением называется уравнение в целых числах, т.е. уравнение вида где– многочлен с целыми коэффициентами. Оказывается, что существуют такие многочленыдля которых не существует алгоритма определения для каждого натурального числаимеет или не имеет целочисленных решений уравнение