Теорема компактности Гёделя – Мальцева

Немецкому математику К.Гёделю и советскому математику А.И.Мальцеву принадлежит замечательная теорема, сыгравшая важную роль в математической логике и алгебре. Прежде, чем её сформулировать, введём несколько определений и обозначений.

Предложением мы будем называть замкнутую формулу, т.е. формулу, не содержащую свободных переменных. Теорией будем называть совокупность предложений (конечную или бесконечную) одной сигнатуры. Будем говорить, что теория имеет модель если все предложения теорииистинны наДалее, если– теория, а Ф – замкнутая формула УИП, то мы пишемесли Ф истинна на любой модели теориит.е. Ф истинна на любой модели, на которой истинны все формулы из

Теорема 5 (теорема компактности Гёделя – Мальцева). Если каждое конечное подмножество имеет модель, то теорияимеет модель.

Доказательство. Пусть – множество всех конечных подмножеств множестваи– модель дляДля формулыпусть

истинна на

Проверим, что – центрированная система подмножеств множестваДействительно, рассмотрим конечное подмножествоТогдаЗначит, формулыистинны на моделиследовательно,Таким образом,Мы показали, что– центрированная система. По теореме 1 эту систему можно вложить в некоторый ультрафильтрD. Рассмотрим ультрапроизведение ПустьТогда Ф истинна на всехгдеНозначит, по теореме Лосяистинна на ультрапроизведенииТаким образом,G является моделью для

Для доказательства неаксиоматизируемости некоторых классов алгебраических систем часто используется следствие из теоремы компактности, которое мы сейчас приведём.

Следствие. Пусть – множество предложений логики первого порядка иТогда существует конечное подмножествотакое, что

Доказательство. Предположим противное, т.е. что для любого конечногоТогда для каждого конечногосуществует модель, для которой предложениеистинно. По теореме компактности существует модель, в которой все предложения изT и предложение истинны. Но тогдавопреки условию.

Теоремы Лёвенгейма – Скулема

Пусть – модель сигнатурыгде Ф – множество символов операций, а– множество символов отношений. Подмножествоназываетсяфункционально замкнутым, если для любой п-арной операции и любых элементовимеет место включениеДругими словами: применение операций изк элементам изне должно выводить за пределы множестваПонятие функционально замкнутого подмножества (непустого) обобщает такие понятия, какподполугруппа, подалгебра. Действительно, непустое подмножество полугруппысо свойством– это и есть подполугруппа. Дляподкольца это уже неверно. Так, если кольцо рассматривать в сигнатуре тоN – функционально замкнутое подмножество кольца Z, но не подкольцо. Рассмотрим теперь понятие подгруппы. Если группу рассматривать в сигнатуре то понятие функционально замкнутого подмножества (непустого) будет совпадать с понятиемподполугруппы, а если взять сигнатуру то непустые функционально замкнутые подмножества будут в точности являтьсяподгруппами. Что касается понятия подполя, то совершенно непонятно, как подобрать сигнатуру, чтобы подполя совпадали с непустыми функционально замкнутыми подмножествами. Подполе – это подмножество поля, которое удовлетворяет аксиомам поля. Это наводит на мысль рассматривать подмножества модели, “замкнутые относительно формул”, но об этом мы будем говорить позже, а сначала докажем лемму, касающуюся функционально замкнутых подмножеств. Алфавит переменных, участвующий в построении формул, будем считать счётным:

Лемма 1. Пусть – модель сигнатуры– бесконечная мощность и– подмножество множестватакое, чтоЕслитоимеет функционально замкнутое подмножествотакое, чтои

Доказательство. Рассмотрим множество состоящее из всех элементов видагдеаТак как символовне болееи каждое изпробегает множество мощностито элементов видане болеештук. Так как– бесконечная мощность, тоа значит,Следовательно,ПоложимЯсно, чтоДалее рассмотрим множествосостоящее из всех элементов видагдеаи т.д. Все множестваимеют мощностьПустьМножество– это счётное объединение множеств мощностипоэтому

Докажем, что В функционально замкнуто. Пусть –п-арная операция и Тогда. . . ,для некоторыхЕслитоНо тогдаа значит,Следовательно,В функционально замкнуто.

Подмножество В модели А называется экзистенциально замкнутым, если для любой формулы логики первого порядка и любых элементовесли существует такоечтото существует такоечто

Лемма 2. Пусть – модель сигнатуры– бесконечная мощность и– подмножество множестватакое, чтоЕслитоимеет экзистенциально замкнутое подмножествотакое, чтои

Доказательство. Так как то мощность множества всех формултакже не превышаетДля формулимеющих види элементоврассмотрим наборыТак както мощность множества всех таких наборов также не превосходитЕсли найдётся такоечтото один из таких элементовобозначимПрисоединим к множествувсе такиеполучим множествоЯсно, чтоС множествомпоступаем так же, как ст.е. строим для негосостоящее из элементовгдеипри некоторомЗатем строими т.д. Мы получили последовательностьПусть

Ясно, что Докажем, чтоэкзистенциально замкнуто. Пустьпри некоторыхиОчевидно, найдётся такоечтоНо тогдадля элементаТак кактоСледовательно,экзистенциально замкнуто.

Следующая теорема утверждает (при определённых условиях) существование подмодели “небольшой мощности” c “хорошими свойствами”.

Теорема 6. Пусть – модель сигнатуры– бесконечная мощностьТогда существует подмодельтакая, чтои для любой формулыи любыхистинность утверждениявравносильна его истинности в

Доказательство. Пусть – любое непустое подмножество множестваудовлетворяющее условию(например, в качествеможно взять одноэлементное подмножество). Используя лемму 1, найдём функционально замкнутое подмножествомножестватакое, чтоизатем по лемме 2 найдём экзистенциально замкнутое подмножествотакое, чтоПосле этого найдём функционально замкнутое подмножествои экзистенциально замкнутое подмножествос условиеми т.д. Мы получили возрастающую цепьПоложимОчевидно, имеет место также равенствоЯсно, чтоТак как каждое из множествфункционально замкнуто, тотакже функционально замкнуто, т.е.– модель.

Рассмотрим формулу УИП со свободными переменнымии высказываниедля некоторыхНадо доказать, что истинностьвравносильна её истинности вИзбавимся в формулеот символовзаменивна эквивалентную формулу. Дальнейшее доказательство проведём индукцией по длине формулыт.е. по количеству входящих в неё символовиЕсли формулаатомарна, то утверждение очевидно. Пусть формулаимеет видПо предположению индукцииистинна натогда и только тогда, когда она истинна наСледовательно, то же верно для формулыАналогично рассматривается случай, когдаНаконец, пустьПредположим, чтоистинна наТогдапри некоторомТак какэкзистенциально замкнуто, топри некоторомОтсюда следует, что формулаистинна на

Теперь выведем из этой теоремы теорему Лёвенгейма – Скулема о понижении мощности.

Теорема 7 (теорема Лёвенгейма – Скулема о понижении мощности). Пусть – множество предложений (замкнутых формул) сигнатуры– бесконечная мощность иЕсли существует какая-нибудь модельв которой все предложения из истинны, то существует модельмощности(возможно, другой сигнатуры), в которой также все предложения изистинны.

Доказательство. Пусть – множества символов операций и отношений, входящих в формулы изРассмотримкак модель сигнатурыОчевидно,По предыдущей теореме существует экзистенциально замкнутая подмодельмощностиЯсно, что в моделиистинны все утверждения из

Пусть – сигнатура, в которую входит отношение равенства. Модель этой сигнатуры называетсянормальной, если в ней в том и только том случае, если элементыисовпадают (представляют собой один и тот же элемент).

Теорема 8 (теорема Лёвенгейма – Скулема о повышении мощности). Пусть – множество замкнутых формул сигнатурысодержащей отношение равенства, и– бесконечная мощность. Если существует бесконечная нормальная модельв которой все предложения изистинны, то существует нормальная модельмощностис этим свойством.

Доказательство. Добавим к сигнатуре множество констант (символов нульарных операций)где– множество мощностиа к множествудобавим аксиомы(приПолученную совокупность формул обозначим черезВсякое конечное подмножество множестваимеет модель: действительно, моделью может служить– все предложения изна ней выполнены, а конечное число условий. . . ,нетрудно соблюсти, присвоив константам с разными индексами различные значения изТак как всякое конечное подмножество множестваимеет модель, то самоимеет модель. Обозначим эту модель черезЭлементы, которым в моделиприсвоены значения константразличны ввиду наличия аксиомСледовательно,

Применим доказанные теоремы для решения вопроса об аксиоматизируемости или неаксиоматизируемости, а также конечной аксиоматизируемости тех или иных теорий. В разделе 3.1 множество действительных чисел R было представлено в сигнатуре с помощью 15 аксиом логики первого порядка и двух дополнительных аксиом – аксиомы Архимеда и аксиомы непрерывности, которые не являются предложениями логики первого порядка. Возникает естественный вопрос:можно ли задать R в той же сигнатуре с помощью конечного числа аксиом, являющихся предложениями логики первого порядка? Ответ отрицательный: этого сделать нельзя, даже если разрешить счётное число аксиом. В самом деле, если аксиом конечное или счётное число, то по теореме Лёвенгейма – Скулема о понижении мощности существует счётная модель действительных чисел, хотя доказан факт о несчётности множества R.

Будем называть класс каких-либо моделей одной сигнатуры аксиоматизируемым, если он может быть задан совокупностью аксиом – предложений логики первого порядка. Класс моделей конечно аксиоматизируем, если он задаётся конечным числом аксиом. Очевидно, группы, кольца, поля, тела, частично упорядоченные множества – это конечно аксиоматизируемые классы.

Напомним, что абелевой группой называется коммутативная группа. Будем использовать для абелевых групп аддитивную запись, т.е. сигнатуру Тогда класс абелевых групп может быть задан аксиомами:

1. 

2. 

3. 

4. 

Следовательно, класс абелевых групп конечно аксиоматизируем.

Назовём абелеву группу делимой, если для любого и любого натуральногоуравнениеразрешимо в(Мы используем здесь сокращённые записи термов:и.д.). Если записать условие на абелеву группу “быть делимой” в следующем виде:N то это не будет аксиоматизацией в определённом выше смысле, так как данное утверждение не является формулой логики первого порядка (“мешает” сочетаниеN). Однако, для делимых групп можно записать бесконечный набор аксиом – предложений УИП:

(

(

. . . . . . . . . . . . .

Покажем, что класс делимых абелевых групп в логике первого порядка не может быть задан конечным числом аксиом. В этом нам поможет теорема компактности. Действительно, пусть – конечное множество предложений логики первого порядка, истинных во всех делимых абелевых группах. ПоложимДля достижения поставленной цели достаточно доказать, чтовыполнено в какой-нибудь абелевой группе, не являющейся делимой. Пусть– множество аксиом (1)-(4) иТогдаПо следствию из теоремы компактности существует конечноетакое, чтоСледовательно, существует такоечтоистинна во всех абелевых группах, удовлетворяющих аксиомамприВозьмём простое числоЦиклическая группаZпорядка р удовлетворяет этим аксиомам, значит, в ней выполнена аксиома НоZне является делимой, так как уравнение в ней неразрешимо. Мы получили противоречие. Таким образом, класс делимых абелевых группаксиоматизируем, но не является конечно аксиоматизируемым.

Абелева группа называетсяпериодической, если каждый её элемент имеет конечный порядок. Это можно записать следующим образом: NДанное утверждение не является предложением логики первого порядка. Оказывается, класс периодических абелевых групп не является аксиоматизируемым (т.е. не может быть задан конечным или бесконечным списком предложений логики первого порядка). Докажем это. Пусть – периодическая абелева группа такая, что для каждогоN существует элемент порядка(Например,(прямая сумма циклических групп простых порядков). Докажем, что существует непериодическая абелева группаудовлетворяющая в точности тем предложениям логики первого порядка, что и группаПусть– множество предложений логики первого порядка, истинных наВведём новый константный символи добавим кпредложенияи т.д. Получим множествоЕслиудовлетворяет всем аксиомамтокак раз и будет непериодической группой, удовлетворяющей всем аксиомам(непериодичность следует из того, что элементимеет бесконечный порядок). Осталось доказать, что группасуществует. Действительно, пусть– конечное подмножество множестваи– наибольшеетакое, что аксиомасодержится вМоделью дляможет служитьПо теореме компактности, так как всякое конечное подмножество множестваимеет модель, то и всёимеет модель. Следовательно, группасуществует.