Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ekzamen_po_matematike.docx
Скачиваний:
34
Добавлен:
15.04.2015
Размер:
253.54 Кб
Скачать

Билет 1

Множества - совокупность некоторых объектов объединённых по какому-либо признаку.

Операции с множествами: объединение, пересечение, относительное дополнение от А до В, симметричная разность, абсолютное дополнение

Объединение множеств - множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств AUB

Пересечение множеств – множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А или множеству В

Относительное дополнение от А до В

Симметричная разность А+В=(А\В)U(B\A)

Абсолютное дополнение A=V\A

Билет 2

Вещественные (действительные) числа – множество всех бесконечных десятичных дробей

Свойства

a+b=b+a a=b,b=c => a=c

(a+b)+c=a+ (b+c) a>b,b>c => a>c, a>b => a+c>b+c, a>0,b>0 => ab>0

ab=baНепрерывность вещ.чиселa>b=> -a<-b

(ab)c=a(bc) a>b => a-b>0

(a+b)c=ac+bc a+(-b)+(-a)>0+(-a)

0+a=a a+(-a)+(-b)>-a

a+(-a)=0 0+(-b)>-a

1*a=a -b>-a

aне равно 0 =>a*a(в -1 степени)=1

Билет 3

Абсолютная величина числа – расстояние от числа до нуля

Свойства

Модуль х больше либо равен 0

Модуль х равен модулю -х

Модуль х со знаком – за модулем меньше либо равно х или меньше либо равно модулю х

Теорема 1

Теорема 2

Билет 4

- существует, - для любого

1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6n

  1. n=1 1^2=1(1+1)(2+1)/6=1

  2. n => n+1

Билет 5

Определитель – число detА квадратной матрицы А порядкаn

а(11) a(12) … a(1n)

a(21) a(22) … a(2n)

a(n1) a(n2) … a(nn)

Свойства

1.Значение определителя не изменится от замены строк столбцами

2.Определитель с двумя одинаковыми рядами равен нулю

3.Если все элементы какого-нибудь ряда умножить на одно то же число, то значение определителя умножится на это же число

4.Если все элементы какого-нибудь ряда обладают общим множителем, то этот множитель можно вынести за знак определителя

5.Определитель с двумя пропорциональными рядами равен нулю

6.Если элементы какого-либо ряда определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей

7.

8.Если в определители поменять местами два ряда, то он изменит знак, а по модулю не изменит

Билет 6

Минор элемента а- определитель, который получается из первоначального путём вычёркивания строки и столбца проходящих через данный элемент

Алгебраическим дополнением А а- (-1)^i+jМ

Теорема 1: Если в определители порядка nвсе элементы строчкиi(или столбца) равны 0, кроме элемента а, то значение определителя равно А а

Теорема 2: Какую бы строчку или столбец определителя порядка nмы не взяли, значение определителя равно сумме произведений элементов этой строки или столбца на их алгебраическое дополнение

Билет 7

Матрица- прямоугольная таблица чисел, содержащая mстрок одинаковой длины илиnстолбцов одинаковой длины

Действия с матрицами:

Сложение

2 -1 4 1 1 -3 3 0 -1

3 0 8 0 11 2 3 11 10

Умножение на число

2А+5В= 16 25

13 -8

А= 3 5 В= 2 3 2А= 6 10 5В= 10 15

4 1 -1 2 8 -2 -5 10

Произведение

А= 1 3 2 В= 1 3 6 1

1 6 4 2 3 4 1

2 5 1 3

С(11)=1*1+3*2+2*2=11

С(12)=1*3+3*3+2*5)=22 С= 11 22 20 10

С(13)=1*6+3*4+2*1=20 21 41 34 19

С(14)=1*1+3*1+2*3=10

С(21)=1*1+6*2+4*2=21

С(22)=1*3+6*3+4*5=41

С(23)=6*1+6*4+4*1=34

С(24)=1*1+6*1+4*3=19

Билет 8

Транспортирование- поворот вокруг главной диагонали

А= a(11) a(12) … a(1n) A^T= a(11) a(21) a(m1)

a(21) a(22) … a(2n) a(21) a(22) a(m2)

a(m1) a(m2) … a(mn) a(1n) a(2n) a(mn)

Свойства

1.(А+В)^T=A^T+B^T

2.(A*B)^T=A^T*B^T

Обратная матрица – всякая невырожденная матрица. Существует только для квадратной

А= a(11)a(12) …a(13)A^*=a(11)a(21)a(31)

a(21) a(22) … a(23) a(12) a(22) a(32)

a(31) a(32) … a(33) a(13) a(23) a(33)

Свойства

1.A^-1*A=A*A^-1=E(обратная матрица)

2.A^-1=1/detA(A^*)^t(квадратная матрица)

Теорема: Если для матрицы существует обратная матрица, то она единственная

Билет 9

Ранг матрицы - наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля. Обозначается r(A)

Свойства ранга матрицы

1.при транспортировании матрицы её ранг не меняется

2.если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится

3.ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы

Элементарные преобразования матрицы

1.перестановка строк

2.умножение элементов какой-нибудь строки на ненулевое число

3.прибавление к элементам одной строки элементов другой строки умножается на одно и то же число

Ступенчатая матрица- матрица, где каждая строка имеет хотя бы один ненулевой элемент, если ненулевой элемент каждой строки, начиная со второй, расположен правее ненулевого элемента предыдущей строки

Теорема: Любую матрицу A с помощью элементарных преобразований можно преобразовать в ступенчатую матрицу

Билет 10

Для того, чтобы система однородных линейных уравнений имела нетревиальное решение, необходимо чтобы ранг её основной матрицы А был меньше числа неивестного 1.Несовместные линейные уравнения- не имеют решения. 2.Совместные-решение есть А)Определённые- одно решение Б)Неопределённые- решений бесконечно много

Метод Крамера Xj=Дельтаj/дельта, j=1,2,3

Матричный метод

X=A^-1*B

Билет 11. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Метод Гаусса.

Сначала следует привести систему к треугольному (ступенчатому) виду, а затем ступенчато решить.

Формула Крамера.

Подсчитать определитель матрицы А.

Затем матрицей B заменить первый столбец матрицы А, подсчитать определитель и разделить его на detA, так мы получим x1. То же самое проделать со 2-ым и 3-им столбцом.

Билет 12.

Решение произвольных систем. Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взятьrуравнений, из которых составлен базисный минор. Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называются главными и остаются слева, а остальные называются свободными и переносятся в правую часть уравнения. Найдя главные черезсвободные, получим общее решение системы.

Однородные система уравнений. Фундаментальная система решений.

Система однородных уравнений всегда имеет нулевое решение. Если ранг матрицы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы система имела ненулевые решения, необходимо, чтобы ее определитель был равен нулю.

Билет 13. Бином Ньютона

Возведение двучлена a + bв степеньnможет быть произведено по формуле называемой разложениембинома Ньютона:

(a + b)n = an + C1n an - 1 b + C2n an - 2 b2 +...+Ckn an - k bk +... + Cn - 1n abn - 1 + Cnnbn

или (после подстановки выражений Cknс учетом формулы Ckn= Cn - kn):

,

где Cknчисло всех возможных сочетаний, которые можно образоватьиз n элементов по k.

Пример: (a + b)5 = a5 + C15 a4b + C25 a3b2 + C35 a2b3 + C45 ab4 + C55 b5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

Свойства бинома Ньютона

  1. Разложение бинома (a + b)nпредставляет собой многочлен, расположенный по убывающим степенямa(от n-й до нулевой) и по возрастающим степенямb(от нулевой до n-й); сумма показателейaиbв каждом члене разложения равна показателю степени бинома. Число членов разложения на единицу больше показателя степени бинома.

  2. Коэффициенты членов разложения («биноминальные коэффициенты») возрастают до середины разложения и затем убывают; коэффициенты каждой пары членов, равноотстоящих от начала и конца разложения, равны между собой. Еслиnчетное, то имеется один средний наибольший коэффициент; еслиnнечетное, то имеется два средних наибольших коэффициента.

  3. При возведении в n-ю степень разностиa - b всечетныечлены разложения имеютзнак "минус":

Билет 14. Функция, определение и способы задания. Обратная функция, суперпозиция функций.

Функция

ФУНКЦИЯ 1.Зависимая переменная величина.2. Соответствие y=f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой величины, y (зависимой переменной или Ф. в значении 1). Ф. задана, если известен закон, определяющий такое соответствие. На практике она задается формулой, таблицей или графиком. При построении графика функции анализируются такие ее свойства, как четность или нечетность, нулевые значения, периодичность, монотонность, наличие асимптоты и др. Важны еще два часто употребляемых понятия: функция, заданная в виде уравнения f(x,y) = 0, неразрешенного относительно y, называется неявной; функция, заданная в виде y= f(g(x)), т. е. функция функции, называется сложной Ф. или иначе — суперпозицией функций g и f. Сложную функцию часто записывают в виде y=f(u), где u=g(x), при этом u называют промежуточным аргументом.Множество X значений аргументов функции x X называетсяобластьюопределенияфункции, асоответственномножество Y = {y | y = f(x), x X} —областьюзначенийфункции, илиобластьюизмененияфункции.

Способы задания:

Аналитический :функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Если область определения функции y=f(x) не указана , то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. 1/1+х^2 ( -∞;∞)

Графический: задается график функции.

Табличный: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

Обратная функция. Функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f (x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х = φ (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x).

Суперпозиция. Несколько функций , используются вместе.

Последовательность Xnназываетсявозрастающей, еслиX1<X2<X3<…<Xn<…

Последовательность называется убывающей, если X1>X2>X3>…>Xn>…

Последовательность называется невозрастающей, если X1≥X2≥X3≥…≥Xn≥…

Все nпоследовательности называютсямонотонными.

Т. ПустьXnмонотонно возрастающая последовательность, если она ограничена сверху, тоXn<M,M=const

Если Xnмонотонно убывающая последовательность, она имеет конечный предел, если она ограничена снизу Xn≥m, m=const

Билет 15. Предел последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Ограниченная последовательность.

Постоянное число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения xn, у которых n>N, удовлетворяют неравенству

|xn - a| < ε

Записывают это следующим образом: или xn→ a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a- ε <xn< a + ε, (6.2)

которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-ε, a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции xn = f(n) целочисленного аргумента n.

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

Функция y=f(x)называетсябесконечно малойприx→aили приx→∞, еслиили, т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Примеры.

  1. Функция f(x)=(x-1)2является бесконечно малой приx→1, так как(см. рис.).

  2. Функция f(x)= tgx– бесконечно малая приx→0.

  3. f(x)= ln (1+x)– бесконечно малая приx→0.

  4. f(x)= 1/x– бесконечно малая приx→∞.

Установим следующее важное соотношение:

Теорема.Если функцияy=f(x)представима приx→aв виде суммы постоянного числаbи бесконечно малой величиныα(x): f (x)=b+ α(x)то.

Обратно, если , тоf (x)=b+α(x), гдеa(x)– бесконечно малая приx→a.

Доказательство.

  1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x)следует|f(x) – b|=| α|. Но так какa(x)– бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точкиa,при всехxиз которой, значенияa(x)удовлетворяют соотношению|α(x)|<ε. Тогда|f(x) – b|<ε. А это и значит, что.

  2. Если , то при любом ε>0для всеххиз некоторой δ – окрестность точкиaбудет|f(x) – b|<ε. Но если обозначимf(x) – b= α, то|α(x)|<ε, а это значит, чтоa– бесконечно малая.

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.

Теорема 1.Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пустьf(x)=α(x)+β(x), гдеи. Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε>0 найдетсяδ>0, такое, что дляx, удовлетворяющих неравенству|x – a|<δ, выполняется|f(x)|<ε.

Итак, зафиксируем произвольное число ε>0. Так как по условию теоремыα(x)– бесконечно малая функция, то найдется такое δ1>0, что при|x – a|<δ1имеем|α(x)|<ε/2.Аналогично, так какβ(x)– бесконечно малая, то найдется такое δ2>0, что при|x – a|<δ2имеем| β(x)|<ε/2.

Возьмем δ=min{ δ1δ2}.Тогда в окрестности точкиaрадиусаδбудет выполняться каждое из неравенств|α(x)|<ε/2 и| β(x)|<ε/2.Следовательно, в этой окрестности будет

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤|α(x)| + | β(x)| <ε/2 + ε/2=ε,

т.е. |f(x)|<ε, что и требовалось доказать.

Теорема 2.Произведение бесконечно малой функцииa(x)на ограниченную функциюf(x)приx→a(или приx→∞) есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Так как функцияf(x)ограничена, то существует числоМтакое, что при всех значенияхxиз некоторой окрестности точкиa|f(x)|≤M.Кроме того, так какa(x)– бесконечно малая функция приx→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точкиa, в которой будет выполняться неравенство|α(x)|<ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем| αf|<ε/M= ε. А это и значит, чтоaf– бесконечно малая. Для случаяx→∞доказательство проводится аналогично.

Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1.Еслии, то.

Следствие 2.Еслииc=const, то.

Теорема 3.Отношение бесконечно малой функцииα(x)на функциюf(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть. Тогда 1/f(x)есть ограниченная функция. Поэтому дробьесть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

Бесконечно большая.

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ

И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ

Теорема 1.Если функцияf(x)является бесконечно большой приx→a, то функция 1/f(x)является бесконечно малой приx→a.

Доказательство.Возьмем произвольное число ε>0и покажем, что при некоторомδ>0(зависящим от ε) при всехx, для которых|x – a|<δ, выполняется неравенство, а это и будет означать, что1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так какf(x)– бесконечно большая функция приx→a, то найдетсяδ>0такое, что как только|x – a|<δ, так |f(x)|>1/ε. Но тогда для тех жеx.

Примеры.

  1. Ясно, что при x→+∞ функцияy=x2+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция– бесконечно малая приx→+∞, т.е..

  2. .

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2.Если функцияf(x)- бесконечно малая приx→a(илиx→∞)и не обращается в нуль, тоy=1/f(x)является бесконечно большой функцией.

Доказательство теоремы проведите самостоятельно.

Примеры.

  1. .

  2. .

  3. , так как функциии- бесконечно малые приx→+∞, то, как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция жеявляется суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0

.

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

Теорема 1.Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

.

Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть.Тогдаf(x)=b+α(x)иg(x)=c+β(x), гдеαиβ– бесконечно малые функции. Следовательно,

f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

Так как b + cесть постоянная величина, аα(x) + β(x)– функция бесконечно малая, то

.

Пример. .

Теорема 2.Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

.

Доказательство. Пусть. Следовательно,f(x)=b+α(x)иg(x)=c+β(x)и

fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

Произведение bcесть величина постоянная. Функцияbβ + c α + αβна основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому.

Следствие 1.Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 2.Предел степени равен степени предела:

.

Пример..

Теорема 3.Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

.

Доказательство. Пусть. Следовательно,f(x)=b+α(x)иg(x)=c+β(x), гдеα, β– бесконечно малые. Рассмотрим частное

.

Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет пределc2≠0.

Теорема 4.Пусть даны три функцииf(x), u(x)иv(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x). Если функцииu(x)иv(x)имеют один и тот же предел приx→a(илиx→∞), то и функцияf(x)стремится к тому же пределу, т.е. если

, то.

Смысл этой теоремы понятен из рисунка.

Доказательство теоремы 4 можно найти, например, в учебнике: Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1 – М.: Наука, 1985.

Теорема 5.Если приx→a(илиx→∞) функцияy=f(x)принимает неотрицательные значенияy≥0и при этом стремится к пределуb, то этот предел не может быть отрицательным:b≥0.

Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, чтоb<0, тогда|y – b|≥|b|и, следовательно, модуль разности не стремится к нулю приx→a. Но тогдаyне стремится к пределуbприx→a, что противоречит условию теоремы.

Теорема 6.Если две функцииf(x) иg(x)при всех значениях аргументаxудовлетворяют неравенствуf(x)≥ g(x)и имеют пределы, то имеет место неравенствоb≥c.

Доказательство.По условию теоремыf(x)-g(x) ≥0, следовательно, по теореме 5, или.

Ограниченная последовательность.   Последовательность  называетсяограниченной сверху, если существует такое число U, что  для любых номеровn. При этом число U называется верхней границейпоследовательности.        Последовательность  называетсяограниченной снизу, если существует такое число  L, что  для любых номеровn. Число  L  называется нижней границейпоследовательности.        Последовательность  называетсяограниченной, если существуют такие числа  L  и  U, что  для всехn = 1,2,3,…  Теорема 1. Любая ограниченная сверху последовательность имеет наименьшую верхнюю границу.  Теорема 2. Любая ограниченная снизу последовательность имеет наибольшую нижнюю границу.

Билет 16 . Свойства пределов. Монотонные последовательности.

Свойства пределов.

  1. Финально постоянная последовательность сходится.

  2. Если последовательность сходится, то предел единственен.

  3. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство.

  1. Если xn = A при n>N, то для любой окрестности U(A) имеем xnО U(A) при n>N, то есть lim n®Ґxn = A.

  2. Пусть limn®Ґxn = A1 и limn® Ґxn = A2, A1№ A2, тогда выберем e - окрестности точек A1, A2, так чтобы они не пересекались. В качестве e можно взять число e = 1/2|A1-A2|. По определению предела $ N1,N2, что при n>N1 xnОU(A1), а при n>N2 xnО U(A2). Следовательно, при n>max{N1,N2} xnО U(A1)ЗU(A2), что невозможно, так как U(A1)З U(A2) = Ж.

  3. Пусть limn®Ґxn = A, положим в определении предела e = 1, тогда " n>N |xn-A|<1 значит |xn|<|A|+1. Выберем C>max{|x1|,...,|xN|, |A|+1}, тогда получим, что при " nО N |xn|< C.

Монотонные последовательности.

О п р е д е л е н и е. Последовательность называется неубывающей (невозрастающей) ,  еслисправедливо неравенство.

Если на самом деле выполняются строгие неравенства , то последовательностьназывается строго возрастающей (строго убывающей) или просто возрастающей (убывающей). Последовательности убывающие и возрастающие, неубывающие и невозрастающие называются монотонными.

Элементы монотонных последовательностей можно расположить в цепочки     , откуда видно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, а невозрастающая сверху.

Т е о р е м а 1. Если последовательность действительных чисел

     (1)

не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу) числом (соответственно), то существует действительное число, не превышающее(не меньшее), к которому эта последовательность стремится как к своему пределу:

(2)

 (соответственно ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность (1) не убывает и пусть пока , тогда и все. Каждый элемент последовательности разложим в бесконечную разложим в бесконечную десятичную дробь:

.                        (3)

Так как последовательность ограничена сверху числоми не убывает, то на основании леммы 2 § 1.6, десятичные дроби (3) стабилизируются к некоторому числу:

,

но тогда  стремится ккак к своему пределу:

.

В самом деле, для любого найдется натуральноетакое, что. Так какстабилизируется к, то

для всех , гдедостаточно велико, но тогда

,

т. е. при.

Если , то прибавим кчислонастолько большое, что, и положим.

Последовательность не убывает, ограничена сверху числоми ее элементы положительны. Поэтому, по доказанному выше существует предел, но тогда существует также предел, и  теорема доказана для произвольной неубывающей последовательности.

Если теперь последовательность не возрастает и ограничена снизу числом, то последовательность чиселне убывает и ограничена сверху числом, и, на основании уже доказанного,  существует предел, который мы обозначили через. Следовательно, существует также.  Теорема доказана.

З а м е ч а н и е. Если последовательность действительных чисел сходится, то их десятичные разложения не обязательно стабилизируются. Например, если

,

где после запятой стоят нулей илидевяток, то последовательностьимеет предел, равный 1,  однако, как легко видеть, эта последовательность не стабилизируется.

Билет 17. Точка сгущения. Предел функции. Односторонние пределы. Свойства пределов. Монотонные функции.

Точка сгущения. Точка х0 называется точкой сгущения множества Х, если в любой проколотой окрестности точки х0 находится хотя бы элемент данного множества Х. Можно показать, что в любой окрестности точки сгущения находится бесконечное множество элементов Х. точка сгущения может принадлежать множеству, но может ему и не принадлежать.

Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х0, если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, nN (xnx0), сходящейся к х0

(т.е. ), последовательность соответствующих значений функции f(xn), nN, сходится к числу А, т.е. . Геометрический смысл предела этой функции, что для всех точек х, достаточно близких к точке х0, соответствующие значения функции как угодно мало отличается от числа А.

Односторонние пределы.

Считается, что х стремится к х0 любым способом: оставаясь меньшим, чем х0 (слева от х0), большим, чем х0 (справа от х0), или колеблясь около точки х0.

Число А1 называется пределом функции y=f(x) слева в точке х0, если для любого ε<0 существует число σ=σ(ε)>0 такое, что при х€(x0-σ;x0), выполняется неравенство |f(x)-A1|<ε

Пределом функции справа называется

Свойства пределов.

1) Если предел функция равна этому числу плюс б.М.

ε – сколь угодно малое число

|f(x)-a|=α; f(x)=a+ α

2) сумма конечного числа б.м. чисел есть б.м. число

3) предел произведения равен произведению пределов

4) константы можно выносить за знак предела

5)

Монотонные функции.

функция, приращения которой Δf(x) = f(x’) — f(x) при Δx = x’ — x > 0 не меняют знака, т. е. либо всегда неотрицательны, либо всегда неположительны. Выражаясь не совсем точно, М. ф. — это функции, меняющиеся в одном и том же направлении. Различные типы М. ф. представлены на прилагаемой табл.

        Например, функция у = x3 является возрастающей функцией. Если функция f(x) имеет в каждой точке производную f’(x), которая неотрицательна и обращается в нуль лишь в конечном числе отдельных точек, то f(x) — возрастающая функция. Аналогично, еслиf’(x) ≤ 0 и обращается в нуль только в конечном числе точек, то f(x) — убывающая функция.

         Условие монотонности может выполняться как для всех х, так и для х из некоторого интервала (или отрезка). В этом последнем случае функцию называют монотонной на этом интервале (или отрезке). Например, функция 

         М. ф. представляют собой один из простейших классов функций и постоянно встречаются в математическом анализе и теории функций. Если f(x) — М. ф., то для любого x0 существуют пределы

         

         и

         

        

Билет 18.

Замечательные пределы.

1 Замечательный предел.

Возьмем круг радиуса 1, обозначим

радианную меру угла MOB через Х.

Пусть 0 <X<π/2. На рисунке |АМ| = sinx, дуга МВ численно равна центральному углу Х, |BC| = tgx. Тогда

Разделим все наи получим:

Т.к. , то по признаку существования пределов следует.

2 Замечательный предел.

Пусть х→∞. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами:

Если x→∞, то n→∞, тогда

По признаку о существовании пределов:

Билет 19. Классификация бесконечно малых функций.

Пусть при xa функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда будем пользоваться следующими определениями.

  1. Если , тоf(x) называется бесконечно малой высшего порядка, чем g(x) (относительно g(x)).

  2. Если , то функцииf(x) и g(x) называются бесконечно малыми одногопорядка.

  3. Если , тоf(x) называется бесконечно малой k-го порядка относительноg(x).

Если , то функцииf(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми. В этом случае обе функции стремятся к нулю примерно с одинаковой скоростью. Эквивалентные бесконечно малые будем обозначать f ≈ g. Примеры.

  1. Пусть f(x)=x2,g(x)=5x. Функции являются бесконечно малыми при x→0. Найдем . Следовательно,f(x) – бесконечно малая высшего порядка относительно g(x).

  2. Пусть f(x)=x2–4,g(x)=x2–5x+6 – бесконечно малые при x→2.

. Поэтомуf(x) и g(x) одного порядка.

  1. f(x)=tg2x,g(x) = 2x – бесконечно малые при х→0.

. Следовательно,f ≈ g.

  1. – бесконечно малые приn→∞.

– этот предел не существует. Поэтому говорят, что функцииf и g не сравнимы. При вычислении пределов полезно помнить о следующем свойстве эквивалентных бесконечно малых функций. Теорема. Пусть f и g – бесконечно малые функции при ха. Если иf ≈ f1g ≈ g1, то , т.е. если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится, если каждую из бесконечно малых заменить эквивалентной бесконечно малой.Доказательство. Имеем . Тогда, что и требовалось доказать.Примеры.

  1. .

Билет 20.

Непрерывные функции и их свойства. Точка разрыва функций и их классификация.

Пусть функция y=f(x) определена в точке х0 и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:

Это означает:

- функция определена в точке х0 и в ее окрестности;

- функция имеет предел при х→х0

- предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство.

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функции f(x) вместо аргумента х подставить предельное значение х0

Точки разрыва функции – это точки в которых нарушается непрерывность функции.

Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 1 рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы)

и

При этом, если:

- А12 то точка х0 называется точкой устранимого разрыва;

- А1≠А2 то точка х0 называется точкой конечного разрыва.

|A1 – A2| называется скачком функции.

Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 2 рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует, либо равен бесконечности.

Соседние файлы в предмете [НА УДАЛЕНИЕ]