Мат Моделирование 2002 (ЛисовЕЦ) / лабы / задания / lab_02 / old / laba_03

Лабораторная работа №3

Геометрическое определение вероятности, задача Бюффона,
операторы сравнения в MATLAB, задача о встрече.

1. Решить и записать в тетрадь решение задачи Бюффона:

На плоскость, разграфленную параллельными прямыми линиями, отстоящими друг
от друга на расстояние 2а, наудачу бросается игла длиной 2l. Какова вероятность
того, что игла пересечет одну из параллельных прямых, если l<=a?

Указание: элементарный исход каждого опыта — положение иглы после падения.
Опишите его парой чисел (x, u): х - расстояние от центра иглы до ближайшей
снизу линии (0<x<2a); u - угол между иглой и ближайшей снизу линией (0<u<pi).
Опишите пространство всех элементарных исходов опыта, постройте это множество,
определите область благоприятную наступления события — пересечения линии иглой.
Примените геометрическое определение вероятности.

2. Смоделировать бросание иглы (длиной .5) на плоскость,
разграфленную прямыми параллельными линиями (расстояние
между линиями 1).

x=rand(N,1);
u=pi*rand(N,1);

здесь N - число бросаний. Просмотреть результаты можно с
помощью графика plot(x,u,'g*') - цвет точек-звездочек зе-
леный. Это одна из реализаций возможных исходов экспери-
мента. Выберите N=10,50,100.

Нарисуем область исходов благоприятствующих событию
A={игла пересечет одну из параллельных линий} =
{(uu,xx)|0<xx<.5*sin(uu) или 1-.5*sin(uu)<xx<1}

uu=0:.01:pi;plot(uu,.5*sin(uu),'r-',uu,1-.5*sin(uu),'r-
'),hold
plot(u,x,'g*')

Команда hold позволяет произвести наложение графи-
ков. Провести несколько серий экспериментов, результаты
показать преподавателю.

Для определения частоты наступления события А на необхо-
димо уметь подсчитывать число попаданий случайной точки
(u,x) в область А. Для этого воспользуемся операторами
сравнения.

3. Изучить операторы сравнения (см. help relop).
Создайте два массива А и В из цифр от 1 до 9, расположен-
ных в порядке возрастания и убывания. Поэкспериментируйте
с операторами сравнения - изучите массивы:

A<B
A>B
A==B
A<B&A>B
A<B|A>B
A<B|A>B|A==B
A<B|A>B&A==B

и другие возможные комбинации <, <=, >, >=, ==, ~=, &,
xor. Для удобства наблюдения можно операции сравнения за-
ключать в скобки.

4. Вызывайте из стека введенные комбинации и с помощью
оператора sum, находите число элементов массива, удовле-
творяющих тому или другому условию.

4. Найдите частоту наступления события А в задаче Бюффона
для 1000 бросаний иглы. Создайте для этого m-файл под
именем l3.m

x=rand(1000,1);
u=pi*rand(1000,1);
A=sum((x<.5*sin(u))|x>(1-.5*sin(u)));
A/1000

Выполните серию вычислений в цикле, найдите A(i) и усред-
ните их. Сообщите оценку вероятности наступления события
А в задаче Бюффона.

for i=1:100
x=rand(1000,1);
u=pi*rand(1000,1);
A(i)=sum((x<.5*sin(u))|x>(1-.5*sin(u)));
end
sum(A)/100

6. Решите задачу о встрече (см. лекцию 2):двое договори-
лись о встрече в течение часа, время прихода каждого рав-
номерно распределено в течение этого часа, причем первый
ждет второго не более 10 минут и уходит, а второй первого
- 20 минут. Оценку вероятности наступления события
А={встреча состоялась} показать преподавателю.