2. Следствия интегральной формулы Коши.

Формула среднего значения.

Пусть z₀- некоторая внутренняя точка односвязной области g. Возьмем окружность C_R с центром в z₀ и радиусом R, C_R  g.

Тогда

C_R: = z₀+R e^i _; d = i Re^i d = i e^i ds (ds – дифференциал дуги)

Принцип максимума модуля. Если f(z) C^(), тогда или |f(z)|const или |f(z)| достигает своего максимального значения только на g. Доказательство.

Пусть максимум модуля достигается во внутренней точке :. Возьмем произвольную окружность с центром в этой точке и радиуса. Запишем формулу средних

Возьмем модуль

Из этого соотношения и непрерывности следует

Действительно, если на контуре существует точка, где , тогда в силу непрерывности существует окрестность этой точки, где(). Тогда

Если для окружности произвольного радиуса, тогдавнутри некоторого круга с центром в точкеи целиком лежащего в.

Выберем произвольную точку вне этого круга. Докажем, что и. Для этого проведем гладкую кривую, соединяющую точкии. Это можно сделать, т.к.- область.

Найдем точку пересечения окружностии этой кривой.

Повторим наши рассуждения, выбрав в качестве центра круга новую точку . Получим, что. Найдем точку пересечения окружностии кривой, соединяющей точкии. И т.д. покане попадет внутрь очередного круга.

Т.о. предположив, что , мы доказали, чтов любой другойвнутренней точке области.

§ 8. Интегралы, зависящие от параметра.

1. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.

Из курса действительного анализа известно, что интеграл, зависящий от параметра, можно дифференцировать под знаком интеграла, если производная подынтегральной функции по параметру непрерывна.

Пусть обладает следующими свойствами:

1. 

2. ,по совокупности аргументов.

При этих условиях существует

Докажем, что, причем производнуюможно искать дифференцируя под знаком интеграла.

Из курса действительного анализа известно, что действительный интеграл, зависящий от параметра, можно дифференцировать под знаком интеграла, если производная подынтегральной функции по параметру непрерывна. Поэтому

Кроме того, , причем

,

т.е. производную можно искать, дифференцируя под знаком интеграла.

2. Существование производных всех порядков в области аналитичности функции комплексной переменной.

Пусть f(z) C^(). Тогда значенияf(z) во всех внутренних точках области (zg) можно выразить через значения f(z) на g при помощи интеграла Коши.

Производная порядка nнашей подынтегральной функции по параметруzравна=> она непрерывна везде внутриg=> можно дифференцировать интеграл Коши произвольное число раз. Т.о. справедлива

Теорема 8.1.Пусть f(z) C^(), тогда внутриg существуют производные произвольного порядка и верна формула

.

Замечание.Существенное отличие комплексных функций от функций действительной переменной, для которых из существования первой производной, вообще говоря, не следует существование высших производных. Например, функция y(x)=x|x| непрерывна на всей числовой прямой; ее производная y'(x)=2|x| также непрерывна на всей числовой прямой, однако, y"(0) не существует!

3. Теоремы Мореры и Лиувилля.

Теорема Мореры. Если f(z)C(g), g-односвязная и для  замкнутого g: , то f(z) C^(g).

Доказательство. При условиях теоремы   C^(g) (Теорема 6.1.), где z₀ и z- произвольные точки g, а интеграл берется по  пути внутри g, соединяющему эти точки. При этом F'(z)=f(z). Но производная аналитической функции сама является аналитической функцией (Теорема 8.1), в частности  F"(z)= f '(z) C(g).

Теорема Лиувилля. Если f(z)- аналитическая на всей комплексной области и  M: |f(z)|M, f(z)  const.

Доказательство. Выразим значение f '(z) в произвольной точке z через значения функции на окружности радиуса R с центром в точке z

.

На C_R: | -z|=R. По условию теоремы  M: |f()|M не зависимо от R=>

Устремив R, получим |f '(z)|=0  f(z)=const для  z.

Замечание. Отсюда, в частности следует, что  z: |sin(z)|>1.

Примеры:

1. Вычислить по отрезку прямой между точкамии. Параметрическое задание этого отрезка прямой естьили в комплексной форме.

Мораль: далеко не всегда надо пользоваться формулами для интеграла в декартовых координатах.

2. Вычислить интеграл от многозначной функции. Для выделения ветви многозначной функции задано ее значение в точке. Считать, что обход заданного контура начинается в этой точке.

Мораль: одна и та же ветвь многозначной функции, один и тот же контур – результаты разные в зависимости от стартовой точки!

3.