§2. Понятие функции комплексной переменной.

1. Определение функции, понятие области.

Определение.Пусть на комплексной плоскости задано множество E и закон, ставящийzE в соответствие определенное комплексное числоw:zw, тогда говорят, что на E заданафункция комплексной переменнойf(z)=w. E-множество задания f(z);

Множество M - значений соответствующих w- множество значений f(z).

Определение.Областью g комплексной плоскости Z называется открытое связное множество точек:

1. Все точки области внутренние: zg(z)g

2.  z₁,z₂g можно соединить кривой все точкой которойzg.

Примеры. а) |z|<1 - область; б) |z|1-не область; в) {z: |z|<1}{z: |z-5i|<1} не область;

Определение. Точкаz₀называетсяграничной точкоймножества g, если вее-окрестности имеются какzg, так иzg.

Примеры: а) z=0 - граничная точка множества |z|>0; б)z=i- граничная точка множества |z|1.

Совокупность граничных точек области g называетсяграницейобласти g.

(обозначения: g, C,,и т.д.)

Определение.Замыкание области, состоящее в присоединении к g ее границы называетсязамкнутой областью =g+g.

Определение.Расширенная комплексная плоскость= комплексная плоскость вместе с ее границей бесконечно удаленной точкой.

Определение.Еслиz₁,z₂g иz₁z₂: f(z₁)=w₁w₂= f(z₂), то отображениевзаимно однозначное g<=>D.

В этом случае g называется областью однолистностиf(z)илиf(z)называетсяоднолистнойв g. => Функция обратная к однолистной – однозначная.

При g<=>D в D обратная функцияz=(w), осуществляющая отображение Dg.

z=x+iy f(z)=w=u+iv=u(x,y)+iv(x,y)

Примеры функций комплексного переменного.

а) w=az+b, a0

Функция определена на расширенной комплексной плоскости, однозначная и однолистная. Она осуществляет поворот, растяжение (умножение) и параллельный перенос (сложение).

б) w=1/z.Функция определена на расширенной комплексной плоскости, однозначная и однолистная. Если, то. => Функция есть совокупность двух отображений 1) смена знака у аргумента (симметричное отражение относительно вещественной оси) и 2) замена модуля комплексного числа на обратную ему величину (инверсия относительно единичного круга).

в) w=z². Однозначная функция комплексного переменного. Если, то.=> Все точкиz комплексной плоскости, лежащие на луче, составляющем уголс положительным направлением действительной оси, переходят в точкиw, лежащие на луче, составляющем угол 2с той же осью. Поэтому точкамzи–z, аргументы которых отличаются на, переходят в одну и ту же точку.=> Обратная функция многозначна. Функцияw=z²отображает верхнюю полуплоскость на всю комплексную плоскость.=>- область однолистности функции.

г) . Функция определена на расширенной комплексной плоскости, но не является однозначной. Каждому значениюz=e^{i( +2 k)}, отличному от 0 и, соответствует два различных значенияи(одно в верхней и другое симметричное ему в нижней полуплоскости). Первая ветвь корня отображает полную комплексную плоскость на верхнюю полуплоскость, а вторая – на нижнюю. Точкиz=0 иz=(они отображаются однозначно в данном случае сами в себя) называютсяточками ветвления.