Примеры.

1. , , А рядсходится – это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

2. , начиная с определенного номера n>N выполнено , а гармонический рядрасходится расходится и исходный ряд.

3. - ряд с неотрицательными членами.

при n.

Но ряд сходится, значит по первому признаку сравнения сходится и исходный ряд.

4. - ряд с отрицательными членами, но если мы докажем сходимость ряда , то мы тем самым докажем сходимость исходного ряда.приn  исходный ряд сходится.

5. - ряд с положительными членами, т.к. приn=3,4,… и  (под логарифмом стоит число, большее единицы). Учитывая, чтоприn, получим асимптотику членов исходного ряда

,

т.о. исходный ряд эквивалентен гармоническому и  расходится.

3. Признаки Коши и Даламбера для рядов с неотрицательными членами.

Достаточными признаками сходимости рядов с положительными членами являются признаки Даламбера и Коши.

Признак Даламбера. Пусть - ряд с положительными членамиa_n>0 и тогда

1. при l<1 ряд сходится,

2. при l>1 ряд расходится,

3. при l=1 ничего сказать нельзя.

Доказательство.

1. Если l<1, то  l<1-2  l+ <1-.

Т.к.  , то >0 N(): l- <a_n+1/a_n< l+ <1- =q<1 для n>N ()

 a_n+1  a_nq,

тогда

a_N+1  a_N q

a_N+2  a_N+1 q  a_N q²

………………………

a_N+p  a_N+p-1 q … a_N q^p

Ряд a_N q+ a_N q+…+ a_N q^p+… сходится, как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 0<q<1  по признаку сравнения сходится и исходный ряд.

2. Если l>1, то l>1+2 => l- >1+.

Т.к.  , то N(): l- << l+ для n>N ()

=> для n>N, тогда

a_N+1  a_N

a_N+2  a_N+1  a_N

………………………

Т.о. члены ряда ограничены снизу положительной постоянной a_N>0 и не стремятся к 0  ряд расходится.

3) рассуждения не применимы при l=1 

Замечание. Признак Даламбера можно использовать для исследования сходимости рядов с произвольными комплексными членами . Действительно, еслито

при l<1 ряд сходится  - сходится, причем абсолютно

2) при l>1 ряд  - расходится

3) при l=1 ничего сказать нельзя.

Признак Коши (радикальный) Пусть - ряд с неотрицательными членамиa_n  0 и тогда

1. при l<1 ряд сходится,

2. при l>1 ряд расходится,

3. при l=1 ничего сказать нельзя.

Доказательство.

1. если l<1, то l<1-2 =>l+ <1-. Т.к. , то из последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся кl. Причем l наибольшая по величине точка сгущения последовательности

т.о. N():

<l+ <1- =q<1, для n>N().

иначе бы существовала другая, большая по величине точка сгущения .

=>a_n<qⁿ, т.е. ряд мажорируется бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем q<1.

2) Если l>1, то l>1+ => l- >1.

Т.к.  , то N(): l- < для n_k>N()

=> => >1 => бесконечное число членов ряда больше 1 => члены ряда не стремятся к 0 => ряд расходится.

3) рассуждения не применимы при l=1.

Замечание. Радикальный признак Коши можно использовать для исследования сходимости рядов с произвольными комплексными членами . Действительно, еслито

при l<1 ряд сходится  - сходится абсолютно

2) при l>1 ряд  - расходится

3) при l=1 ничего сказать нельзя.

Замечание 3. Если о ряде известно лишь, что или то о сходимости действительно ничего сказать нельзя. Например, ряды иудовлетворяют обоим условиям. При этом один из них сходится, а другой расходится.

Интегральный признак Коши. Если функция ипри, то ряд

,

сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл

.

Доказательство.

 k при , в силу убывания

.

Проинтегрируем неравенство по отрезку

.

Суммируя эти неравенства от k=1 до k=n, получим

.

Полагая - частичные суммы ряда, получим

.

1) Если несобственный интеграл сходится, то при n =>

.

Т.е. последовательность частичных сумм ряда с неотрицательными членами ограничена сверху  ряд сходится.

2. Если ряд с неотрицательными членами сходится, то при n =>

.

Для при  : 1n в силу неотрицательности

.

Т.о. совокупность интегралов ограничена  => несобственный интеграл сходится.

Примеры.

1. - ряд Дирихле.

,

верхняя подстановка конечна, если =>

Ряд Дирихле сходится при и расходится при.

2. - расходится, т.к.

- расходится.