Прочее / курсовая

Курсовая работа

по курсу:"Специальные разделы математики"

по теме: “ Обыкновенные дифференциальные уравнения, их применение в электронике ”

Выполнил:

студент гр. ФХ-58М Сизов А.В.

Проверил: Фридлендер Б.И.

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

1. Согласно приведенной электрической схеме построить направленный граф и вывести систему дифференциальных уравнений относительно потокосцеплений и зарядов ёмкостных элементов.

2. Сравнить полученную систему уравнений с системой, приведенной в вашем варианте.

3. Свести полученную систему n дифференциальных уравнений к одному уравнению n-го порядка.

4. Записать формулы численного решения системы уравнений в варианте неявным разностным методом, а также формулы итерационной коррекции решения на каждом временном шаге.

5. При многошаговой неявной разностной схеме счета вычислить методом Рунге-Кутта значения искомых функций на первых шагах счета.

6. Найти численное решение системы на интервале [0 ; 15 c] при начальных условиях, указанных в задании, взяв за начальный шаг t=0.5 с точностью 10^-4.

7. Построить графики функций по полученным расчетам как в фазовых плоскостях , так и в зависимости от времени.

8. Оформить отчет.

Вариант 26.

L =2; R=3; C=5; M=3.

K₁=0.35; K₂=0.1; U₁=7; U_0B=6; V_­­­­0=2.

{0 ,при U<0

(U)=

{1 ,при U0

Уравнение колебательного контура:

П редставим уравнение автоколебаний в безразмерной форме.

Введём безразмерное время:

и параметр

Ч исленно интегрируем эту систему неявным методом Эйлера.

Пусть  - шаг интегрирования. Предыдущая система принимает приближённый разностный вид.

f₁ = -U_{B k+1}+ U_{B k} + *V _k+1=0

f₂ = V _k+1 *[-1-] -*U_{B k+1}+V_k=0

Здесь k –номер шага численного интегрирования.Неявная система уравнений на каждом шаге решается методом Ньютона –Рафсона.

Матрица Якоби:

Н аходим обратную матрицу:

С истема итерационных уравнений принимает вид:

З десь индекс i, записанный сверху, является номером итерации в методе Ньютона –Рафсона при постоянном шаге интегрирования .

Численно решаем предыдущую систему при значении параметра =0.5. Шаг интегрирования =0.5. Начальные значения искомых функций U_0B=6; V_­­­­0=2.

Р асчетные формулы принимают вид:

Расчет сведен в таблице 1, графики представлены на рис.1.

Программа:

clear all

k1=0.35;

k2=0.1;

u1=7;

L=2;

R=3;

C=5;

M=3;

t=2.5;

N=40;

delt=t/sqrt(L*C);

ub(1)=6;

v(1)=2;

for i=2:1:N

if ub(i-1)-u1 >=0

sigma=1;

else sigma=0;

end

alfa=(1/sqrt(L*C))*(-L/R+M*(k1-k2*sigma));

ub(i)=(ub(i-1)*(-1/delt+alfa)-v(i-1))/(alfa-1/delt-delt);

v(i)=(delt*ub(i)-v(i-1))/(-1+delt*alfa);

for p=1:1:10

j=[-1 delt;-delt -1+alfa*delt];

f=[-ub(i)+ub(i-1)+delt*v(i);v(i)*(-1+alfa*delt)- delt*ub(i)+v(i-1)];

y=inv(j)*f;

ub(i)=ub(i)-y(1,1);

v(i)=v(i)-y(2,1);

end

end

plot(ub,v);

grid on

xlabel('V')

ylabel('Ub')

pause

t(1)=0;

for i=2:1:N

t(i)=t(i-1)+delt;

end

plot(ub,t)

grid on

xlabel('t')

ylabel('Ub')

pause

plot(v,t)

grid on

xlabel('t')

ylabel('V')

Литература:

1.С.Г.Кальней , Б.И.Фридлендер “Обыкновенные дифференциальные уравнения, их применение в электронике”.