4.2. Содержание разделов дисциплины

Введение.

Предмет вычислительной математики. Методы и задачи вычислительной математики.

Раздел 1. Погрешности результатов численного решения задач. (2 час.)

Источники и классификация погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности. Вычислительная погрешность. Неустранимая погрешность.

Раздел 2. Численные методы решения линейных алгебраических уравнений. (6 час.)

Классификация методов линейной алгебры. Методы последовательного исключения неизвестных. Метод отражений. Метод простой итерации.

Сходимость итерационных процессов. Метод покоординатного спуска. Метод нисходящего градиентного спуска. Метод сопряженных градиентов.

Раздел 3. Численные методы решения нелинейных уравнений и систем.

(6 час.)

Итерационные методы. Метод простой итерации. Метод Ньютона решения нелинейных уравнений. Методы спуска. Методы сведения многомерных задач к задачам меньшей размерности. Влияние вычислительной погрешности на сходимость итерационного процесса.

Раздел 4. Интерполяция функции. (4 час.)

Постановка задачи. Интерполяционный многочлен Лагранжа и его погрешность. Интерполяционная формула Ньютона для неравных промежутков. Интерполяционные формулы Ньютона для равных промежутков. Сходимость интерполяционного процесса. Интерполирование периодических функций. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. Интерполирование функций многих неизвестных переменных.

Раздел 5. Численное дифференцирование и интегрирование. (4 час.)

Численное дифференцирование. Вычислительная погрешность по формулам численного дифференцирования. Простейшие квадратные формулы. Метод неопределенных коэффициентов. Оценки погрешности квадратуры. Квадратные формулы Ньютона-Котеса, Гаусса. Практическая оценка погрешности элементарных квадратурных формул. Постановка задачи оптимизации квадратур. Оптимизация распределения узлов квадратурной формулы.

Раздел 6. . Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

(6 час.)

Решение задачи Коши с помощью формулы Тейлора. Методы Рунге-Кутта. Оценка погрешности одношаговых методов. Конечно-разностные методы. Оценка погрешности конечно-разностных методов. Метод неопределенных коэффициентов. Особенности интегрирования системы дифференциальных уравнений: Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы решения уравнений в частных производных.

Раздел 7. Методы приближения. (2 час.)

Постановка задачи приближения. Наилучшее приближение в линейном нормированном и гильбертовом пространстве. Алгебраический многочлен наилучшего равномерного приближения. Приближенное построение алгебраического многочлена наилучшего приближения. Среднеквадратичное приближение функций алгебраическим многочленам. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье. Тригонометрический многочлен наилучшего приближения. Быстрое преобразование Фурье. Интерполяция и приближение сплайнами.

Раздел 8.

Библиотека и пакеты программы по вычислительной математике. (4 час.)Назначение, состав и структура библиотек и пакетов программ MatLab, IMSL, NAG. Перечень основных программ основных разделов вычислительной математики. Практическое использование библиотек и пакетов программ. Интерфейс. Перспективы практического применения и развития библиотек и пакетов программ по вычислительной математике.

5. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

№ п/п	№ раздела дисциплины	Наименование лабораторных работ
1 2 3 4 5	2 3 4 5 6	Решение системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными различными методами. Решение систем нелинейных уравнений различными методами. Интерполяция функций. Численное дифференцирование и интегрирование. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

6.1. Рекомендуемая литература

1.Дьяконов В.П. Mathcad 2001: Специальный справочник.-СПб.:Питер, 2002.-832с.

2. Исаков В.Н. Элементы численных методов. – М.: ИЦ «Академия», 2003.- 192с.

3. Вержбицкий В.М. Численные методы (Линейная алгебра и нелинейные уравнения).-М.: 2005, 432с.

4. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 2005г.

5. Малинин Ю.И. Вычислительная математика: методические указания к лабораторным работам/ РГРТУ, - Рязань, 2008, 48с.

6.2. Средства обеспечения освоения дисциплины

Библиотека программ NAG. Пакет программ MATLAB, MATHCAD.

7. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

Учебная лаборатория (ауд. 127) кафедры АСУ.

Лаборатория оснащена 25 персональными компьютерами с операционной системой Windows 2003 ХР.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

8.1. Методические рекомендации преподавателю

Лекции должны читаться в полном соответствии с нормами и правилами высшей школы Российской Федерации и данной рабочей программы. Преподавателю рекомендуется учесть методику и опыт чтения данной и подобных математических дисциплин в РГРТУ и ведущих университетах и институтах РФ.

Практические занятия рекомендуется проводить в соответствии с разделами и темами лекций. Для освоения методов вычислительной математики преподаватель совместно со студентами решает задачи вручную в аудитории, а также в учебной лаборатории на современных персональных компьютерах с использованием операционной системы Windows 2003 ХР и библиотек и пакетов программ MatLab, IMSL, NAG, MathCad. Конкретные задачи преподаватель выбирает по собственному усмотрению и предварительно объясняет методику их решения на компьютере. По каждой решенной задаче студент выполняет отчет и защищает его. В результате выполнения всех задач преподавателю рекомендуется провести зачетное занятие, в результате которого студент должен получить зачет по практическим занятиям.

При проведении самостоятельной работы студента преподавателю рекомендуется заранее разработать и в начале семестра выдать каждому студенту «Индивидуальное задание» по дисциплине «Вычислительная математика». Все «Индивидуальные задания» должны быть различными. Преподавателю, проводящему этот вид учебной работы, рекомендуется в одних заданиях предусмотреть несколько различных задач, подлежащих решению вручную различными методами (один из которых он может разобрать самостоятельно) с последующей проверкой результатов с помощью программ, реализующих данные методы; в других заданиях возможно предложить решить одну и ту же задачу различными методами; в третьих заданиях студентам может быть предложено полностью запрограммировать метод вычислительной математики на алгоритмических языках высокого уровня.