Литература / Криптография с открытым ключом (А. Саломаа)

zNA^ENIE f TEPERX POLU^AETSQ PRIMENENIEM PERESTANOWKI

16 7 20 21

29 12 28 17

1 15 23 26

5 18 31 10

2 8 24 14

32 27 3 9

19 13 30 6

22 11 4 25

K REZULXTIRU@]EMU 32-BITNOMU BLOKU B10 B20 ¢ ¢ ¢ B80 . |TO ZAWER[AET OPREDELENIE FUNKCII f, TAK VE KAK I NA[E OPISANIE ALGORITMOW ZA[IFROWANIQ I RAS[IFROWANIQ, SOOTWETSTWU@]IH DES.

DES-ALGORITMY RABOTA@T O^ENX BYSTRO NA PODHODQ]EM OBORUDOWANII. s DRUGOJ STORONY, KRIPTOANALIZ PRIWODIT K MNOGO^ISLENNYM NELINEJNYM SISTEMAM URAWNENIJ. wOZNIKA@]IE PRI \TOM ZADA^I BUDUT PO KRAJNEJ MERE NP -POLNYMI (SM. PRILOVENIE A). tEM NE MENEE IMEETSQ PREDPOLOVENIE, ^TO SKONSTRUIROWANNAQ DLQ \TIH CELEJ MA[INA MOVET PEREBRATX WSE WOZMOVNYE KL@^I. sPECIALXNAQ APPApATUpA BUDET OSU]ESTWLQTX POISK SREDI WSEH 256 KL@^EJ SO SKOROSTX@ 1012 KL@^EJ W SEKUNDU: 106 ^IPOW, KAVDYJ IZ KOTORYH I]ET W RAZNYH ^A- STQH KL@^EWOGO PROSTRANSTWA SO SKOROSTX@ ODIN KL@^ W MIKROSEKUNDU. oCENKI STOIMOSTI TAKOGO OBORUDOWANIQ MOGUT SILXNO OTLI^ATXSQ. bOLEE PODpOBNO \TI PpOBLEMY pASSMOTpENY, NAPRIMER, W [De].

dO SIH POR BYLO USTANOWLENO NESKOLXKO SWOJSTW DES-OTOBRAVENIJ. iNTERESNOE SWOJSTWO, KASA@]EESQ SIMMETRII, RASSMOTRENO W ZADA^E 16. tAKVE DES OBLADAET O^ENX VELATELXNOJ S TO^KI ZRENIQ SEKRETNOSTI OSOBENNOSTX@: NEZNA^ITELXNOE IZMENENIE ISHODNOGO SOOB]ENIQ ILI KL@^A PRIWODIT K BOLX[IM IZMENENIQM W KRIPTOTEKSTE. dETALIZIRU@- ]IE RISUNKI, KASA@]IESQ \TOGO LAWINOOBRAZNOGO \FFEKTA, MOGUT BYTX

NAJDENY W [Kon].

gLAWA 2

iDEQ OTKRYTYH KL@^EJ

2.1. nEKOTORYE ULICY QWLQ@TSQ ODNOSTORONNIMI

pODUMAEM NEMNOGO O KRIPTOSISTEMAH, PREDSTAWLENNYH W GL. 1, A TAKVE O L@BYH DRUGIH PODOBNYH SISTEMAH. dLQ KRIPTOANALITIKA, ZNA@]EGO ALGOpITM ZA[IFROWANIQ, NE WOZNIKAET NIKAKIH PROBLEM W PROCESSE pAS- [IFROWANIQ. kL@^I ZA[IFROWANIQ I pAS[IFROWANIQ SOWPADA@T DAVE W TAKOJ SLOVNOJ SISTEME, KAK DES. pO\TOMU, RABOTAQ S ODNOJ IZ PREDSTAWLENNYH SISTEM I OTKpYWAQ ALGOpITM ZA[IFROWANIQ, WY TEM SAMYM RASSEKpE^IWAETE SWOI SOOB]ENIQ.

nO \TO PROISHODIT NE WSEGDA. sU]ESTWU@T SISTEMY, DLQ KOTORYH MOVNO pASKpYTX ALGOpITM ZA[IFROWANIQ BEZ UMENX[ENIQ SEKRETNOSTI W CELOM. |TO OZNA^AET, ^TO KRIPTOANALITIK TAKVE BUDET ZNATX DANNYJ ALGOpITM. nO TEM NE MENEE ON E]E NE W SOSTOQNII pAS[IFROWATX WA[ KRIPTOTEKST. wSE \TO SKAZANO O KRIPTOGRAFII S OTKRYTYM KL@^OM:

ALGOpITM ZA[IFROWANIQ MOVET BYTX OPUBLIKOWAN.

iDEQ OTKRYTYH KL@^EJ BYLA PREDSTAWLENA dIFFI I hELLMANOM [DH]. iDEQ O^ENX PROSTA PO SWOEJ SUTI, HOTQ I REWOL@CIONNA. pO^EMU VE TAKAQ PROSTAQ IDEQ BYLA PREDSTAWLENA TAK POZDNO | W SEREDINE SEMIDESQTYH | ZA O^ENX DLINNU@ ISTORI@ KRIPTOGRAFII? kAK OBESPE- ^IWAETSQ BEZOPASNOSTX PRI RASKRYTII ALGOpITMA ZA[IFROWANIQ? kAK MOVNO REALIZOWATX \TU PREKRASNU@ IDE@?

oTWET NA PERWYJ WOPROS BUDET LEGKIM: TEORIQ SLOVNOSTI BYLA RAZWITA TOLXKO NEDAWNO. |TA TEORIQ DAET NAM INFORMACI@ O SLOVNOSTI RAZLI^NYH WY^ISLENIJ, SKAVEM, O TOM, KAK MNOGO WREMENI BUDET ZATRA^ENO DLQ WY^ISLENIJ NA LU^[IH KOMPX@TERAH. tAKAQ INFORMACIQ

QWLQETSQ O^ENX WAVNOJ W KRIPTOGRAFII.

|TO PRIWODIT NAS KO WTOROMU WOPROSU. kONE^NO, ALGOpITM ZA[I- FROWANIQ OTKRYWAET W MATEMATI^ESKOM SMYSLE I ALGOpITM pAS[IFROWANIQ, POTOMU ^TO ONI \OBRATNY" DRUG DRUGU. pREDPOLOVIM TEM NE MENEE, ^TO POTREBU@TSQ SOTNI LET RABOTY KRIPTOANALITIKA DLQ pASKpYTIQ ALGOpITMA pAS[IFROWANIQ IZ ALGOpITMA ZA[IFROWANIQ. tOGDA pASKpYTIE ALGOpITMA ZA[IFROWANIQ NI^EMU NE UGpOVAET. tAKIM OBRAZOM PONIMAETSQ \BEZOPASNOSTX" WO WTOROM WOPROSE.

~TO KASAETSQ WOPROSA O REALIZACII IDEI OTKRYTYH KL@^EJ, DALEE ON BUDET pASSMOTpEN BOLEE PODpOBNO. sDELAEM ZDESX LI[X NESKOLXKO PpEDWApITELXNYH ZAME^ANIJ.

w MATEMATIKE, TAK VE KAK I W REALXNOJ VIZNI, SU]ESTWU@T ODNOSTORONNIE ULICY. lEGKO DOBRATXSQ PO TAKOJ ULICE IZ a W w, TOGDA KAK PRAKTI^ESKI NEWOZMOVNO DOBRATXSQ IZ w W a. {IFROWANIE RASSMATRIWAETSQ KAK NAPRAWLENIE OT a K w. hOTQ MY MOVEM DWIGATXSQ W \TOM NAPRAWLENII, MY NE W SOSTOQNII DWIGATXSQ W OBRATNOM NAPRAWLENII | pAS[IFROWANIQ.

wOZXMEM TELEFONNYJ SPRAWO^NIK BOLX[OGO GORODA. lEGKO NAJTI NOMER L@BOGO ABONENTA. nO, S DRUGOJ STORONY, TQVELO | MOVNO SKAZATX, NEWOZMOVNO! | NAJTI ABONENTA, IME@]EGO ZADANNYJ NOMER. sPRAWO^- NIK SOSTOIT IZ NESKOLXKIH TOLSTYH TOMOW. w PRINCIPE WY DOLVNY AKKURATNO PROLISTATX KAVDYJ IZ NIH.

|TO DAET IDE@ DLQ KRIPTOSISTEM S OTKRYTYM KL@^OM. {IFROWANIE QWLQETSQ KONTEKSTNOSWOBODNYM: BUKWA PEREHODIT W BUKWU. dLQ KAVDOJ BUKWY ISHODNOGO SOOB]ENIQ SLU^AJNO IZ SPRAWO^NIKA WYBIRAETSQ IMQ, NA^INA@]EESQ S \TOJ BUKWY. sOOTWETSTWU@]IJ TELEFONNYJ NOMER OBRAZUET [IFR DLQ DANNOGO ^ASTNOGO SLU^AQ POQWLENIQ BUKWY. tAKIM OBRAZOM, SISTEMA QWLQETSQ MNOGOALFAWITNOJ: DWA RAZLI^NYH POQWLENIQ ODNOJ BUKWY S O^ENX MALOJ WEROQTNOSTX@ [IFRU@TSQ ODINAKOWO. {IFROWANIE SOOB]ENIQ COMETOSAUNA MOVET BYTX TAKIM:

sOOB]ENIE wYBRANNOE IMQ kRIPTOTEKST

tAKIM OBRAZOM, WESX KRIPTOTEKST POLU^AETSQ NAPISANIEM ODIN ZA DRUGIM WSEH NOMEROW, POQWLQ@]IHSQ W PRAWOM STOLBCE. pRI \TOM, KONE^NO, NOMERA ZAPISYWA@TSQ W TOM PORQDKE, KAK ONI UKAZANY W SPISKE.

zAMETIM, ^TO ALGOpITM ZA[IFROWANIQ NE QWLQETSQ DETERMINIROWANNYM. bESKONE^NO MNOGO KRIPTOTEKSTOW MOVNO POLU^ITX IZ ODNOGO I TOGO VE ISHODNOGO SOOB]ENIQ. s DRUGOJ STORONY, KAVDYJ KRIPTOTEKST POROVDAET TOLXKO ODIN ISHODNYJ TEKST.

lEGALXNYJ POLU^ATELX ISHODNOGO SOOB]ENIQ MOVET IMETX SPRAWO^- NIK, SOSTAWLENNYJ SOGLASNO WOZRASTANI@ NOMEROW. tAKOJ SPRAWO^NIK DELAET PROCESS pAS[IFROWANIQ O^ENX LEGKIM. sOGLASNO TERMINOLOGII, OBSUVDAEMOJ BOLEE PODROBNO DALEE, OBRATNYJ SPRAWO^NIK QWLQETSQ LAZEJKOJ, IZWESTNOJ TOLXKO LEGALXNYM POLXZOWATELQM SISTEMY.

nE ZNAQ LAZEJKI, T. E. NE IMEQ NA RUKAH KOPII OBRATNOGO SPRAWO^NIKA, KRIPTOANALITIK ZATRATIT NA pAS[IFROWANIE O^ENX MNOGO WREMENI. |TO TAK, NESMOTRQ NA TOT FAKT, ^TO ALGOpITM ZA[IFROWANIQ OPUBLIKOWAN I KRIPTOANALITIK, W PRINCIPE, ZNAET, KAK EMU SLEDUET INTERPRETIROWATX PEREHWA^ENNYE ^ISLOWYE POSLEDOWATELXNOSTI.

pOISK PO WSEMU SPpAWO^NIKU, WEROQTNO, BUDET O^ENX DOLOG. kONE^NO, KRIPTOANALITIK MOVET TAKVE POPYTATXSQ DOZWONITXSQ PO WSEM NOMERAM IZ KRIPTOTEKSTA I SPROSITX IMENA. uSPEH \TOGO METODA SOMNITELEN | MOVNO POLU^ITX SERDITYJ OTWET ILI W O^ENX MNOGIH SLU^AQH NE POLU^ITX OTWETA SOWSEM. mETOD STANOWITSQ ZAWEDOMO NEPRIGODNYM PpI ISPOLXZOWANII STAROGO SPRAWO^NIKA.

sISTEMA, OSNOWANNAQ NA TELEFONNOM SPRAWO^NIKE, GODITSQ TOLXKO W KA^ESTWE NA^ALXNOJ ILL@STRACII, A NE DLQ SERXEZNOGO PRIMENENIQ. dEJSTWITELXNO, NE TAK TRUDNO SOSTAWITX \OBRATNYE" SPRAWO^NIKI.

iDEQ KRIPTOGRAFII S OTKRYTYM KL@^OM TESNO SWQZANA S IDEEJ ODNOSTORONNIH FUNKCIJ. pO ZADANNOMU ARGUMENTU x LEGKO WY^ISLITX ZNA- ^ENIE FUNKCII f(x), TOGDA KAK OPpEDELENIE x IZ f(x) TpUDNOWY^ISLIMO. zDESX \TRUDNOWY^ISLIMOSTX" PONIMAETSQ W SMYSLE TEORII SLOVNOSTI (SM. PRILOVENIE A). sITUACIQ IZOBRAVENA NA RIS. 2.1.

mY GOWORIM O f(x) KAK O FUNKCII. oDNAKO RIS. 2.1 PONIMAETSQ W BOLEE [IROKOM SMYSLE: DOPUSKA@TSQ TAKVE NEDETERMINIROWANNYE ALGOpITMY ZA[IFROWANIQ, TAKIE, KAK DLQ PRIMERA S TELEFONNYM SPRAWO^NIKOM.

oPpEDELENIE x IZ f(x) TRUDNOWY^ISLIMO TOLXKO DLQ KRIPTOANALITIKA. lEGALXNYJ POLU^ATELX IMEET PODHODQ]U@ LAZEJKU. dALEE TAKIE ODNOSTORONNIE FUNKCII BUDEM NAZYWATX KRIPTOGRAFI^ESKIMI.

uPOMQNEM PO \TOMU POWODU, ^TO NI ODNOGO PRIMERA KRIPTOGRAFI^E- SKOJ ODNOSTORONNEJ FUNKCII NE IZWESTNO. zATO SU]ESTWUET MNOGO KRIPTOGRAFI^ESKIH FUNKCIJ f(x), TAKIH, ^TO:

1.lEGKO WY^ISLITX f(x) IZ x.

2.oPpEDELENIE x IZ f(x), WEROQTNO, BUDET TRUDNOWY^ISLIMYM.

oDNAKO NE IMEETSQ DOKAZATELXSTW DLQ TRUDNOWY^ISLIMOSTI, TREBUEMOJ W PUNKTE 2. |TO OTRAVAET TOT FAKT, ^TO O^ENX TQVELO POLU^ITX WYSOKIE NIVNIE OCENKI W TEORII SLOVNOSTI. o^ENX NEPpOSTO POKAZATX, ^TO TRUDNOWY^ISLIMOSTX ALGORITMA, ISPOLXZUEMOGO NAMI, QWLQETSQ NESLU^AJNOJ.

s TO^KI ZRENIQ KRIPTOGRAFII S OTKRYTYM KL@^OM WPOLNE PODHODQT FUNKCII, UDOWLETWORQ@]IE TREBOWANIQM 1 I 2. w TIPI^NYH KRIPTOSISTEMAH S OTKRYTYM KL@^OM TOLXKO PRQMOJ KRIPTOANALIZ OSNOWAN NA WY^ISLENII x IZ f(x). mOGUT SU]ESTWOWATX I DRUGIE, BOLEE GENIALXNYE KRIPTOANALITI^ESKIE METODY, IZBEGA@]IE \TOGO WY^ISLENIQ. tAKIM OBRAZOM, KRIPTOANALITIK MOVET DOSTI^X USPEHA DAVE W TOM SLU^AE, KOGDA DOKAZANO, ^TO NAHOVDENIE x IZ f(x) TRUDNOWY^ISLIMO.

|TI WYWODY BUDUT OBSUVDATXSQ W SLEDU@]EM PRIMERE.

pRIMER 2.1. uTO^NIM OPREDELENIE ODNOSTORONNIH FUNKCIJ. zADA^A NAZYWAETSQ TRUDNOWY^ISLIMOJ, ESLI NET ALGORITMA DLQ RE[ENIQ DANNOJ ZADA^I S POLINOMIALXNYM WREMENEM RABOTY. eSLI VE TAKOJ ALGORITM SU]ESTWUET, TO ZADA^A NAZYWAETSQ WY^ISLIMOJ. lEGKOWY^I- SLIMYMI BUDUT NAZYWATXSQ ZADA^I, IME@]IE ALGORITMY SO WREMENEM RABOTY, PREDSTAWIMYM W WIDE POLINOMA NIZKOJ STEPENI OTNOSITELXNO WHODNOGO RAZMERA ZADA^I, A E]E LU^[E ALGORITMY S LINEJNYM WREMENEM RABOTY. NP -POLNYE ZADA^I RASSMATRIWA@TSQ KAK TRUDNOWY^ISLIMYE.

wSE \TI OPREDELENIQ SOOTWETSTWU@T STANDARTNOJ TERMINOLOGII IZ TEORII SLOVNOSTI. dLQ BOLEE DETALXNOGO RASSMOTRENIQ ^ITATELX OTSYLAETSQ K PRILOVENI@ A. zAMETIM, ^TO TRADICIONNAQ TEORIQ SLOVNOSTI NE IDEALXNA S TO^KI ZRENIQ KRIPTOGRAFII. sLOVNOSTX WSEJ ZADA^I W TRADICIONNOJ TEORII SLOVNOSTI OPpEDELQETSQ SLOVNOSTX@ \W SAMOM HUD[EM SLU^AE". tAK KAK TAKIE \HUD[IE SLU^AI" MOGUT POQWLQTXSQ KRAJNE REDKO, TO DLQ KRIPTOGRAFII INFORMACIQ O SpEDNEJ SLOVNOSTI QWLQETSQ BOLEE SU]ESTWENNOJ.

fUNKCIQ f(x) BUDET ODNOSTORONNEJ, ESLI PEREWOD x W f(x) LEGOK, A OBRATNYJ PEREWOD IZ f(x) W x TRUDNOWY^ISLIM. wTOROE TREBOWANIE ^ASTO ZAMENQETSQ BOLEE SLABYM USLOWIEM: OBRATNYJ PEREWOD, WEROQTNO, BUDET TRUDNOWY^ISLIMYM (\TO QWLQETSQ WY[EUKAZANNYM USLOWIEM 2).

nA[ PRIMER OSNOWAN NA ZADA^E O R@KZAKE. zADAN NABOR

(a1; a2; : : : ; an) = A

n RAZLI^NYH POLOVITELXNYH CELYH ^ISEL I E]E ODNO POLOVITELXNOE CELOE ^ISLO k. zADA^EJ QWLQETSQ NAHOVDENIE TAKIH ai, ESLI \TO WOZMOVNO, SUMMA KOTORYH RAWNA k.

rIS. 2.2.

w PpOSTEJ[EM SLU^AE k UKAZYWAET RAZMER R@KZAKA, A KAVDOE IZ ^I- SEL ai UKAZYWAET RAZMER PREDMETA, KOTORYJ MOVET BYTX UPAKOWAN W R@KZAK. zADA^EJ QWLQETSQ NAHOVDENIE TAKOGO NABORA PREDMETOW, ^TOBY R@KZAK BYL POLNOSITX@ ZAPOLNEN.

dALXNEJ[IE ZNA^ENIQ FUNKCII OPREDELQ@TSQ NABORAMI IZ 10 pAZpQDOW

f(609) = f(1001100001) = 43 + 473 + 903 + 1523 = 2942;

f(686) = f(1010101110) = 43 + 215 + 903 + 561 + 1165 + 697 = 3584; f(32) = f(0000100000) = 903;

f(46) = f(0000101110) = 903 + 561 + 1165 + 697 = 3326; f(128) = f(0010000000) = 215;

f(261) = f(0100000101) = 129 + 1165 + 1523 = 2817; f(44) = f(0000101100) = 903 + 561 + 1165 = 2629; f(648) = f(1010001000) = 43 + 215 + 561 = 819:

|TI KONKRETNYE ZNA^ENIQ POTREBU@TSQ NIVE.

fUNKCIQ f(H) OPREDELQLASX n-NABOROM A. o^EWIDNO, ^TO ESLI MY W SOSTOQNII WY^ISLITX x IZ f(x), TO PpAKTI^ESKI ZA TO VE WREMQ BUDET RE[ENA ZADA^A O R@KZAKE: PO x NEMEDLENNO WY^ISLQETSQ EGO DWOI^- NOE PREDSTAWLENIE, KOTOROE W SWO@ O^EREDX DAET KOMPONENTY NABORA A, WHODQ]IE W SUMMU DLQ f(x). s DRUGOJ STORONY, WY^ISLENIE f(x) IZ x QWLQETSQ LEGKIM. tAK KAK ZADA^A O R@KZAKE NP -POLNA, f(x) QWLQETSQ HORO[IM KANDIDATOM DLQ ODNOSTORONNEJ FUNKCII. kONE^NO, NADO POTREBOWATX, ^TOBY n BYLO DOSTATO^NO BOLX[IM, SKAVEM, NE MENEE 200. HIVE BUDET POKAZANO, ^TO FUNKCIQ f(x) QWLQETSQ TAKVE KRIPTOGRAFI- ^ESKOJ.

sNA^ALA pASSMOTpIM, KAK \p@KZA^NYE WEKTORY" A MOGUT BYTX ISPOLXZOWANY W KA^ESTWE OSNOWY KRIPTOSISTEMY. iSHODNOE SOOB]ENIE WNA^ALE KODIRUETSQ I RAZBIWAETSQ NA n-RAZRQDNYE BLOKI. eSLI \TO NEOBHODIMO, POSLEDNIJ BLOK DOPOLNQETSQ W KONCE NULQMI. kAVDYJ IZ n- RAZRQDNYH BLOKOW TEPERX [IFRUETSQ S POMO]X@ WY^ISLENIQ ZNA^ENIQ FUNKCII f DLQ \TOGO BLOKA.

eSLI ISHODNOE SOOB]ENIE NAPISANO PO-ANGLIJSKI, ESTESTWENNYM SPOSOBOM KODIROWANIQ QWLQETSQ ZAMENA KAVDOJ BUKWY DWOI^NYM PREDSTAWLENIEM EE PORQDKOWOGO NOMERA W ALFAWITE. dLQ \TIH CELEJ POTREBUETSQ PQTX BITOW. w SLEDU@]EJ TABLICE NUMERACIQ BUKW NA^INAETSQ S 1, TOGDA KAK PROBEL MEVDU DWUMQ SLOWAMI ZADAETSQ ^ISLOM 0.

rASSMOTRIM PREDYDU]IJ 10-NABOR I ISHODNOE SOOB]ENIE SAUNA AND HEALTH. tAK KAK [IFpUEMYE BLOKI SOSTOQT IZ 10 pAZpQDOW, TO DELENIE NA BLOKI NA[EGO ISHODNOGO TEKSTA DAST:

SA UN APROBEL AN DPROBEL HE AL TH

sOOTWETSTWU@]IE 8 DWOI^NYH POSLEDOWATELXNOSTEJ:

1001100001 ;

1010101110 ;

0000100000 ;

0000101110 ;

0010000000 ;

0100000101 ;

0000101100 ;

1010001000 :

oNI W TO^NOSTI QWLQ@TSQ ARGUMENTAMI ZNA^ENIJ pASSMOTpENNOJ WY[E FUNKCII f, SLEDOWATELXNO, KRIPTOTEKSTOM BUDET 8-NABOR

(2942; 3584; 903; 3326; 215; 2817; 2629; 819) :