Физические свойства кристаллов, описываемых тензором второго ранга.

• Диэлектрические и магнитные проницаемости и восприимчивости;

• Удельная проводимость и удельное сопротивление;

• Теплопроводность;

• Тепловое расширение;

• Информация при гидростатическом сжатии.

Рассмотрим тензор второго ранга на примере закона Ома для изотропной среды:

j=E,

где -удельная проводимость, а j и E - вектора.

Для определения нужно определить 9 независимых компонент.

Каждая компонента плотности тока линейно зависит от трех компонент направленности поля.

j₁=₁₁E₁+₁₂E₂+₁₃E₃

j₂=₂₁E₁+₂₂E₂+₂₃E₃

j₃=₃₁E₁+₃₂E₂+₃₃E₃

Для того чтобы определить удельную проводимость в кристалле нужно определить 9 независимых компонент.

₁₁₁₂₁₃

_ij=₂₁₂₂₂₃

₃₁₃₂₃₃

Значения коэффициентов ₁₁,₂₂,₃₃зависят от выбранной системы координат.

Удельная проводимость описывается теннзором второго ранга.

Если _ij=_ji, то число компонент тензора сокращается до 6.

Для того чтобы наглядно описать это свойство строят указательную поверхность. Указательная поверхность удельной проводимости записывается уравнением:

₁₁X₁² +₂₂X₂² +₃₃X₃² +2₁₂X₁X₂ +2₁₃X₁X₃ +2₂₃X₂X₃ =1

В тензоре второго ранга всегда определяют главные оси. Главные оси в кристалле – это те направления, вдоль которых вектор воздействия и вектор возникающего явления, совпадают по направлению. Главные оси симметрии тензора второго ранга это три взаимно перпендикулярных направления, при выборе которых за координатные оси общее уравнение принимает следующий вид:

S₁₁X₁² + S₂₂X₂² + S₃₃X₃² =1

Если S₁₁, S₂₂, S₃₃>0, то поверхность – эллипсоид. Если два коэффициента >0, а один <0, то поверхность однополосный гиперболоид. Если один коэффициент >0, а два <0, то характерная поверхность – двух полосный гиперболоид.

В применимости к …

₁₁X₁² +₂₂X₂² +₃₃X₃² =1₁₁0 0

Тензор второго ранга будет иметь диагональный вид: 0 ₂₂0

0 0 ₃₃

j₁=₁₁E₁

j₂=₂₂E₂

j₃=₃₃E₃

Геометрические свойства указательной поверхности.

Категория кристалла	Сингония	Симметрия	Указательная поверхность	Число независимых компонент	Тензор, приведенный к главным осям
Высшая	кубическая	4L3	сфера	1	S 0 0 0 S 0 0 0 S
Средняя	Тетрагональная Гексагональная Тригональная	L4 L6 L3	X3(Z) Однополосный эллипсоид вращения	2	S1 0 0 0 S1 0 0 0 S3
Низшая	Ромбическая Моноклинная Триклинная	3L2(*) L2,m(**) —	Трехосный эллипсоид вращения	3 4 6	S1 0 0 0 S1 0 0 0 S3 S11 0 S13 0 S22 0 0 0 S33 S11 S12 S13 S21 S22 S23 S31 S32 S33

(*) – совпадает с осями симметрии 2-го порядка.

(**) – совпадает с осью трехосного эллипсоида вращения.

Е

S_ij=Sji

сли в триклинной сингонии тензор центрально-симметричен, то

Кристаллы всех классов симметрии могут обладать свойством, описываемым тензором второго ранга.