TEZ-2012 / 1-й семестр / ПЗ1 / Практическое занятие 3

Практическое занятие №3

Спектры сигналов.

Задача 3.1. Рассчитать спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов c амплитудой А=0,5 В, длительностью =1 мкс и периодом следования Т=2=2 мкс. Определить ширину спектра сигнала.

Построить временную и спектральную диаграммы заданного сигнала.

Решение

Построим временную диаграмму сигнала.

U(t)

А

. . . . Рис.3.1.

 T t

Для получения спектра сигнала, временная диаграмма которого показана на рис.3.1, необходимо разложить его в ряд Фурье.

Определим коэффициенты разложения в ряд Фурье а_і и b_і:

,

.

Рассчитаем частоты

рад/с,

МГц.

рад/с,

МГц.

рад/с,

МГц.

рад/с,

МГц.

рад/с,

МГц.

Коэффициенты ряда U_c(t)

.

В

, т.к. подинтегральная функция - нечетная.

Ряд Фурье запишем для заданного сигнала в виде:

Спектр этой последовательности показан на рис.3.2.

a_k

0,32

0,25

- 0,106 0,06 Рис.3.2.

. . 2 4

0 = 3 = 

Задача 3.2. Рассчитать спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов c амплитудой A=1B, длительностью =1мС и периодом следования Т=4мС. Определить ширину спектра сигнала.

Определим коэффициенты разложения в ряд Фурье а_і и b_і:

,

.

Рассчитаем частоты

рад/с,

кГц.

рад/с,

кГц.

рад/с,

кГц.

рад/с,

кГц.

рад/с,

кГц.

Коэффициенты ряда U_c(t)

.

В

, т.к. подинтегральная функция - нечетная.

Ряд Фурье запишем для заданного сигнала в виде:

Спектр этой последовательности показан на рис.3.2.

a_k

1,12

0,5

- 0,106 -0,09 Рис.3.3.

. . 2 4

0 = 3 

Пэ =2/=2^. 10³ р/c.

Задача 3.3. Определить интервал и частоту дискретизации в соответствии с теоремой Котельникова для непрерывного сигнала, отличного от нуля только для положительных значений t:

x(t)=exp(-t) при t>0,

если среднеквадратическая погрешность дискретизации не должна превышать ₀.

Решение

Cреднеквадратическая погрешность дискретизации определяется энергией спектральных составляющих сигнала, лежащих за пределами частоты, которую мы выбрали в качестве верхней (граничной) частоты.

Определим спектр заданного сигнала, используя интегральное преобразование Фурье:

Выбираем верхнюю, граничную частоту в спектре сигнала  _в .

Тогда интервал дискретизации равен t=/ _в . Следует учесть, что верхнюю частоту следует выбрать так, чтобы среднеквадратическая погрешность (СКП) не превышала заданную величину ₀ . СКП определяется так:

Частота дискретизации должна быть в 2 раза больше, чем верхняя частота, т.е.  _д = 2 _в.

Задача 3.4. Определить интервал и частоту дискретизации в соответствии с теоремой Котельникова для непрерывного сигнала, отличного от нуля только для положительных значений t:

Определить спектр заданного сигнала:

x(t)=exp(-2t) при t>0.

если среднеквадратическая погрешность дискретизации не должна превышать ₀ = 0,1.

Выбираем верхнюю, граничную частоту в спектре сигнала  _в .

Тогда интервал дискретизации равен t=/ _в . Следует учесть, что верхнюю частоту следует выбрать так, чтобы среднеквадратичесукая погрешность (СКП) не превышала заданную величину ₀ =0,1. СКП определяется так:

4.9332

.

Частота дискретизации должна быть в 2 раза больше, чем верхняя частота, т.е.  _д = 2 _в.

ОТВЕТ:  _в 10р/с,  _д 20р/с, t 0,314 с .

Задача 3.5. Определить спектр заданного сигнала:

Решение

О пределим спектр заданного сигнала, используя интегральное преобразование Фурье: