Физ.-стат. основы кв. инф.- Богданов (конспект лекций)

1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения

Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.3.2), имеем:

xˆ = i ∂

оператор координаты есть ∂p .

Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается

i соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).

21

Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:

Здесь s - число степеней свободы

Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.

Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой

xˆ j xˆk − xˆk xˆ j = 0 pˆ j pˆk − pˆk pˆ j = 0

Преобразование, сохраняющее коммутационные соотношения, каноническими.

Преобразование Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность

22

взаимнодополнительных распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).

1.П. Приложение. Дельтафункция и ее свойства.

Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельтафункции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].

Дельтафункция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в теории преобразования Фурье и статистическом анализе взаимнодополнительных распределений.

Проведем исследования выражения (4) из раздела

В точке x1 = x рассматриваемый интеграл заведомо расходится. Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной p в пределах от

Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:

23

рассматриваемая функция локализована в интервале

функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельтаобразной последовательности.

Приведем также некоторые другие представления для дельтафункции:

24

Задача 1.П.1 Обоснуйте представления (6) и (7) для дельтафункции.

Дельтафункция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)

где

( ) 1, x ≥ 0

Θ x =

0, x < 0

Основное свойство дельтафункции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:

Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельтафункции

25

Задача 1.П.2. Обоснуйте приведенные формулы (10)- (12).

26

Глава 2. Точность статистических характеристик гильбертова пространства

Внастоящей главе мы увидим, что различного вида неравенства КошиБуняковского, соотношения неопределенностей, а также неравенства РаоКрамера получаются, посуществу, с помощью одного и того же математического приема, сводящегося к элементарному требованию неотрицательности некоторого квадратного трехчлена. В разделах 2.1- 2.3 с использованием принципов квантовой информатики излагаются элементарные сведения, связанные с неравенством КошиБуняковского и соотношением неопределенностей. В разделе 2.4 представлено так называемое соотношение неопределенностей ШредингераРобертсона. В разделе 2.5 рассмотрено многомерное соотношение неопределенностей. Информация Фишера и неравенство РаоКрамера, известные еще из классической математической статистики, изучаются в разделах 2.6- 2.8 с новой квантовоинформационной точки зрения.

2.1.Неравенство КошиБуняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация

Рассматриваемое неравенство имеет место для произвольных линейных пространств, в которых определено понятие скалярного произведения. Приведем примеры таких пространств.

Вкомплексном конечномерном пространстве C s

размерности s скалярное произведение двух векторов определяется следующей формулой в обозначениях Дирака:

27

s

ϕ ψ = ∑ϕ jψ j

В бесконечномерном гильбертовом пространстве l2 аналогичное определение имеет вид:

∞

ϕ ψ = ∑ϕ jψ j

Наконец, если ψ (x) и ϕ (x) - комплексные

функции из пространства L2 , то их скалярное произведение есть:

ϕ ψ = ∫ϕ (x)ψ (x)dx

(3)

Покажем, что для любых векторов линейного пространства со скалярным произведением выполняется следующее неравенство КошиБуняковского:

ϕ ψ 2 ≤ ϕ ϕ ψ ψ

(4)

Для определенности, при проведении выкладок будем иметь ввиду функции из пространства L2 .

Предположим вначале, что ϕ ψ - действительное

число.

Пусть ξ - действительный параметр. Рассмотрим следующую заведомо неотрицательную функцию от ξ (эта

28

функция представляет собой интеграл от заведомо

действительные числа.

Введем функцию, отличающуюся от ϕ (x) только

фазой

29

ϕ% (x) = ϕ (x)exp(iα )

30