§ 12 Среднее значение измеряемой величины.

По определению

(1)

Рассмотрим оператор с дискретным спектром. Разложимпо собственным функциям оператора:

(2)

По равенству Парсеваля

{в силу линейности оператора заносим его под знак суммы}

(3)

Подставляя (3) в числитель, а (2) в знаменатель для (1), тогда имеем

(4)

Из теории вероятности , где- вероятность получения, тогда

§ 13 Вероятность результатов измерения

- вероятность того, что при измерении величиныдля системы, находящейся в состояниимы получим результат.

Если система находится в состоянии , то величинапри измерении выходит с вероятностью равной 1:

В общем случае .

Условие при котором собственная функция оператора описывает состояние системы:

Если полная производная оператора удовлетворяет равенству

Для непрерывного спектра, вероятность того, что результаты измерения величины A для системы, находящейся в состоянии , лежат в интервале , определяется следующим значением:

или плотность вероятности

§ 14 Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин

Введем понятие коммутатора

Если мы имеем , то предполагается, что на некоторую функциюсначала действует, а потом на все действует.

Если , то операторыикоммутативны. Причем физические величины, соответствующие этим операторам одновременно измеримы. Или говорят, что эти операторы имеют общий базис. То есть все собственные функции этих операторов можно выбрать общими.

Разложим по базису: .

Подействуем на коммутатором:

{Используем то, что образуют общий базис. }={Числа с оператором коммутируют (т. к. операторы эрмитовы)} =

То есть, если физические величины одновременно измеримые, то их коммутатор равен нулю.

Обратное:

Если коммутатор обращается в ноль, то физические величины одновременно измеримы.

Пусть собственная функция задачи Штурма-Лиувилля . Подставляем ее в коммутатор

Тогда получим . Мы рассматриваем невырожденный спектр. Это значит, что существует однозначное соответствие одно собственного значения и одной собственной функции. Разница между функциями и только до константы.

Пусть эта константа , тогда . Но , тогда .

Мы получили, что функция удовлетворяет задаче Штурма-Лиувилля для оператора.

Это можно было показать для любой собственной функции оператора .

Тогда из коммутативности операторов иследует общность базисов.

Величины и, которым соответствуют коммутирующие операторы могут быть одновременно измеримы и следовательно могут образовывать полный набор динамических переменных.

Полный набор динамических переменных полностью задает состояние системы. Но операторы идолжны быть независимы.

§ 15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии.

Будем использовать координатное представление (-представление). Будем рассматривать систему из одной материальной точки.

Действие сводится к умножению на вектор , т. е. (это определение действия оператора, но не задача Штурма-Лиувилля).

Здесь строго соблюдается последовательность операторов при раскрытии векторного произведения, например, первая компонента:

,

однако для частного случая декартовых координат порядок операторов не существенен.

Оператор энергии или Гамильтониан .

,

здесь - оператор кинетической энергии,- оператор потенциальной энергии.

Для одной материальной точки гамильтониан имеет вид:

Координата t – признак внешнего нестационарного поля.

Для одной материальной точки: . Тут присутствует и, ноиодновременно не измеримы, тогда потенциальная и кинетическая энергия в квантовой механике не могут быть одновременно измерены. В квантовой механике существует понятие “энергия частицы”, но порознь вводить энергию нельзя, иначе либо, либооказываются неизвестными.