§ 58 Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: второе приближения.

При n=2 возможно:

p=2, q=0; p=1, q=1; p=0,q=2.

Для членов второго порядка малости запишем из (3)

(9*)

Теперь запишем для 2-го порядка выражение (5*):

(10*)

Рассмотрим случай :

Получили поправку второго порядка малоси к энергетическому уровню основного состояния. Пусть j- основное состояние (так как спектр невырожденный). Тогда знаменатель в поправке второго порядка всегда отрицательный. Тогда поправка всегда отрицательна.

.

Рассмотрим теперь (10*): его можно в общем случае записать, учмтывая, что :

Рассмотрим случай :

Из этого цравнения находим дейтсвительную часть , а мнимая часть обращается принудительно в ноль.

(11*)

Случай

.

Обычно пишут

Тогда

.

§ 59. Критерий применимости теории возмущений.

Имеем волновые функции:

- не возмущенное состояние .

- возмущенные состояния , где.

Обе они нормированы на единицу:

Теория возмущений работает, если поправка к невозмущенной функции мала.

Ранее получено

Кроме того

,

где p – порядок малости в теории возмущений.

Теория срабатывает если поправка мала по сравнению с нормой функции, тогда критерий применимости теории возмущений

(4)

Также можно использовать другие соотношения, например

Рассмотрим критерий малости (4)

.

Штрих над суммой означает, что при суммировании выбрасывем значения с , т. е. суммирование по, где.

Раньше получали для, тогда

Тогда при получаем критерий применимости теории возмущений в виде неравенства

,

но этот критерий не всегда верен. Однако если он не выполняется, то теория возмущений точно не выполняется.

Этот критерий дает условие:

. (5)

Отсюда ясно, что если имеются вырожденные уровни, то требуется модификация метода.

Будем считать под состояние системы:.

,

то

,

тогда

.

§ 60. Стационарная теория возмущений в случае близких энергетических уровней.

Пусть у нас два близких уровня, а остальные уровни хорошо удовлетворяют критерию (5)

Пусть близкие уровни – это уровни . Близость уровней определяется из критерия (5).

Модификация теории возмущений состоит в том, чтобы в качестве нулевого приближения для 1 и 2 состояния подобрать такие функции и, которые обращали бы в ноль- числитель критерия (5).

По определению:

.

Мы рассмотрим набор

.

Очевидно, что

.

Распишем:

Рассмотрим свойства невозмущенной функции:

Они удовлетворяют ЗШЛ:

,

где - невозмущенный оператор.

(6)

Эта матрица имеет диагональный вид, т. к. мы рассматриваем матричные элементы на собственных функциях этого оператора.

Мы ввели идля итого, чтобы ввести такой матричный элемент, чтобы он

,

тогда (5) будет для идавать 0 и теория возмущений будет работать.

Таким образом мы ввели новый невозмущенный базис и. В этом новом базисе мы должны диаганализовать,

Искомое преобразование является унитарным, так как оно не нарушает условия нормировки. Надо подобрать коэффициенты : .

Используем

Но

,

или в матричном виде

Из свойства ортонормированности найдем свойства коэффициентов

,

т.е.

Это унитарное преобразование, оно сохраняет нормировку.

Запишем ЗШЛ для модифицированных функций.

,

,

тогда подставим явно и

,

.

Рассмотрим случай i=1, умножим левую и правую части этого уравнения скалярно на и, тогда имеем:

,

.

Введем обозначения:

.

Тогда имеем

,

.

Перепишем эти уравнения в виде

, (7)

.

Система линейных однородных уравнений. Она имеет нетривиальное решение только при .

Обозначим

,

.

Имеем решение

.

При i=2, то по аналогии

,

и обозанчив

получаем

,

.

Во втором случае решение аналогично первому. Однако мы приписываем одному знак +, а другому -.

Имеем тогда уровни энергии:

Перейдем к системе (7). Из нее имеем

,

.

Кроме этого используем соотношение

,

т.е. имеем нормировку

.

Рассмотрим (и аналогично)

,

.

Введем обозначение:

,

где и- вспомогательные углы, определяемые через матричные элементы,и.

Тогда коэффициенты имеем в виде

; ,

; .

Таким образом при теория возмущений срабатывает для двух близких уровней. Теперь в качестве нулевого приближения берут:

Модификация касалась только этих двух близких состояний. Остальные состояния не модифицировались, т. к. они сразу удовлетворяли критерию.

Теперь и- теория возмущений работает.