§ 56. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: нулевое и первое приближения.

Рассмотрим оператор , который обладает дискретным спектром:

Под номером понимается набор всех квантовых чисел, опереляющих состояние системы.

- значения образующие энергетический спектр.

Так как спектр невырожденный, то между состоянием и уровнем (энергией) существует взаимооднозначное соответствие, т. е.:

.

Т. к. спектр дискретный, то функции квадратичноинтегрируемы:

/

Пусть ЗШЛ решена и найдены собственные функции и собственные значения.

Рассмотрим ЗШЛ:

.

Оператор здесь имеет такую структуру, что эта ЗШЛ просто не решается, как ЗШЛ для оператора.

Оператор должен:

1. иметь структуру , где- оператор для которого задача решена.,- дает малую добавку в оператор.

2. Спектр собственных функций дискретен, тогда собственные функции квадратичноимнтегрируемые

.

Решим задачу разложения по малому параметру (через теорию возмущений).

Из этого получаем

(*)

т.к. параметр малый, то энергетический спектр можно разложить по малому параметру:

p – указывает порядок разложения и показывает малость члена суммы.

отвечает невозмущенной задаче

.

- поправка имеющая первый порядок малости.

Т. к. собственные функции оператора образуют базис, то по ним можно разложить собственные функции возмущенного оператора

.

(**)

Коэффициенты разложения:

Их можно разложить по малому параметру:

Теперь задача теории возмущений состоит в нахождении членов рядов:

(***)

Чем больше членов рядов найдем, тем точнее решим задачу.

Подставим (**) в (*) и вынесем коэффициенты за знак операторов

Используем решение для невозмущенного оператора

Обозначим этот ряд , где, тогда

.

Используем соотношение

.

Коэффициенты выносятся за знак скалярного произведения:

Рассчитаем

.

- это матричный элемент оператора возмущений, который рассчитывается по невозмущенным функциям.

Тогда имеем

.

Получили матричное уравнение, которое должны разложить по малым параметрам и прировнять 0 все слагаемые соответствующие своим порядкам малости.

считается величиной первого порядка малости, по нему проводится разложение.

Используем, что

,

здесь

Тогда

(4*)

Получили исходное уравнение. К нему еще добавляются две нормировки:

, (1)

(2)

Подставим в уравнение (4*) выражения (***)

(3)

Группируем члены по порядку малости. По каждому порядку должны получать справа ноль.

Сначала нулевой порядок

Так как имеет первый порядок малости то член связанный с ним будет отсутствовать.

Из этого выражения получаем что, так как спектр невырожденный, при даети получаем, а при,может быть.

Легко видеть, что так как

,

то нулевое приближение дает

.

Тогда в нулевом приближении имеем решение:

Теперь для уровней:

.

Окончательно в результате нулевого приближения

Перейдем к первому приближению.

Получим дополнительные соотношения из условия нормировки возмущенных функций.

Так как

,

,

получим

.

Подставим сюда разложение по малому параметру

,

тогда имеем

Здесь справа стоит величина нулевого порядка малости.

Для , .

Для

(5*)

Рассмотрим первое приближение: . Два случая и,и.

(6*)

Из (5*) имеем

(7*)

Используем, что

Тогда из (6*) и (7*):

. (8*)

Из (8*) рассмотрим случай :

- поправка к i-ому энергетическому уровню первого порядка малости

Тогда в первом приближении

и также получаем

.

Тогда получили, что

,

т. е. коэффициенты чисто мнимые.

Ввиду неопределенности фазового множителя при волновой функции, то полагают

,

тогда принимают .

Из (8*) рассмотрим случай .

.

Подставим это выражение в (8*) и проверим условие нормировки:

.

Распишем

Получили истинность условия нормировки.

Тогда в первом приближении теории возмущений получили:

.

Нам необходимо найти волновые функции, для них