§ 54. Основное состояние атома гелия

Рассмотрим основное одночастичное состояние:

.

Здесь удобно перейти к атомным (кулононовским) единицам, чтобы исключить константы ,,, тогда

.

В кулоновских единицах одночастичная функция для основного состояния выглядит:

.

Каким квантовым числам соответствет одночастичное состояние? Вводят три квантовых числа (без спина): , ,. Для основного одночастичного состояния 1, 0, 0 соответственно.

Тогда, ставим индексы

.

Эта функция нормирована на единицу, т. е.

.

Если взять симметричные и антисимметричные функции для двух частиц в основном состоянии, то имеем:

,

.

И получаем, что основное состояние описывает симметричная функция. Вычисление энергии одночастичного состояния для центрального поля мы проводили и получали в размерных единицах

.

Или в кулоновских единицах

.

, .

Так как у нас два электрона, то есть две частицы, то

.

В первом приближении, энергия основоного состояния для атома Гелия в атомных единицах

.

В самосогласованном методе решение оказывается:

.

Из эксперимента

.

Задача

Определить приближенно энергию основного уровня атома гелия (ядро с зарядом Z и два электрона), рассматривая взаимодействие между электронами как возмущение.

Решение

В основном состоянии иона оба электрона находятся в S-состояниях. Невозмущенное значение энергии равно удвоенному основному уровню водородоподобного иона:

.

Поправка первого приближения дается средним значением энергии взаимодействия электронов, взятом по состоянию с волновой фуркцией

.

(произведение двух водородоподобных функций с )

Интеграл

проще всего вычислить так

,

,

.

Энергия распределение зарядов в поле сферически – симметричного распределения. Подынтегральное выражение интеграла поесть энергия зарядав поле сферы. Множитель 2 перед интегралом учитывает вклад от конфигураций, в которых. Таким образом, получим

.

Окончательно

.

Когда рассчитываем основное состояние, то функция основного состояния должна быть

,

однако, ранее мы получили формулу

.

Мы все это рассчитываем через

(*)

Однако, правильный результат получается из

.

Тогда в формуле (*) стоит при лишня двойка, которая потом дала.

§ 55. Схема Юнга квантовой механики.

Мы рассматривали систему двух электронов. Волновая функция системы двух электронов была:

.

Т. е. в гамильтониане не учтен спин и мы можем разделить переменные.

Возможно два варианта:

1. И ,

2. И .

Тогда, мы учитавая принцип тождественности, неявно учитывали спин в теории.

Распространим этот принцип на систему с большим числом электронов.

Так как у электрона два значения спина , то вводится схема Юнга.

Обозначения:

По горизонтали проводят симметризацию, а по вертикали антисимметризацию.

Будем обозначать цифрами координаты. Пусть есть 3 частицы, тогда:

.

Подействуем операторами перестановки:

. (*)

Теперь рассмотрим

, (**)

В результате получаем, что разность (*) и (**) не равна нулю

.

Это значит, что соответствующие величины одновременно не измеримы, у них нет общего базиса и они не могут быть вместе приведены к диагональному виду. То, что у этих операторов различные базисы, т. е. различные собственные функции и показывает, что симметризация не может быть такой простой, как для двух электронов. Задача симметризации относится уже к теории групп.

Вообще говоря, - антисимметричная, т. к. мы рассматриваем фермионы.

Тогда, имеем:

: соотсетствует

: соотсетствует:

Здесь координаты не ставят, т. к. рассматривают перестановки по всем координатам, а потом выбирают независимые. Т. е. рассматривают просто схемы симметризации.

Суммарному спину соответствует рисунок

и :,

а суммарному спину соответствует

: соотсетствует :

При большем числе электронов картина становится следующей:

		Спин
		2
		1
		0

Мы можем установить взаимоодназначное соответствие между картинкой симметрии и спином . Хотя спин в операторне входит, мы его вводим через принцип тождественности.