- •Квантовая механика
- •§ 1. Экспериментальные основы квантовой механики
- •§ 2. Классическое и квантовое описание системы.
- •§ 3 Принцип неопределенности.
- •§ 4. Полный набор динамических переменных
- •§ 5. Постулаты квантовой механики.
- •§ 6 Роль классической механики в квантовой механике
- •§ 7 Волновая функция и ее свойства.
- •§ 8 Принцип суперпозиции состояний
- •§ 9 Понятие о теории представлений
- •§ 10 Операторы в квантовой механике
- •§ 12 Среднее значение измеряемой величины.
- •§ 13 Вероятность результатов измерения
- •§ 14 Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин
- •§ 15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии.
- •§ 16. Решение задачи Штурма-Лиувилля для оператора .
- •§ 17 Решение задачи Штурма-Лиувилля для оператора .
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы .
- •§ 19 Волновое уравнение
- •§ 20 Производная оператора по времени
- •§ 21 Интегралы движения в кв. Механике.
- •§ 22. Свойства операторов вида
- •§23. Флуктуации физических величин.
- •§ 24. Неравенство Гайзенберга.
- •§ 25 Оператор Гамильтона различных систем.
- •§ 26. Стационарное состояние различных систем
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •Для трехмерного случая
- •§ 28. Интегральные операторы в квантовой механике.
- •§ 29. Интегральный оператор канонического преобразования.
- •§ 30. Каноническое преобразование оператора.
- •§ 31. Уравнения Шредингера в матричной форме.
- •§ 32. Линейный гармонический осциллятор
- •Предельные технологические размеры кристаллов и.С. 0.1 – 0.5 мкм. Существует и предел по физической работоспособности. Однако с уменьшением размера кристалла увеличивается быстродействие приборов.
- •§ 30.1. Каноническое преобразование оператора. Ч. 2
- •§ 34. Унитарные инварианты в квантовой механике.
- •§ 35. Вид операторов ив декартовых и сферических координатах.
- •§ 36. Коммутационные соотношения с оператором .
- •§ 37. Собственные функции и собственные значения операторов и.
- •§ 38. Вырождение энергетических уровней частицы, движущейся в центральном поле.
- •§ 39. Гамильтониан частицы без спина, движущейся в магнитном поле.
- •§ 40. Снятие вырождения по квантовому числу m в случае частицы без спина, движущейся в магнитном поле. Используем
- •§ 41. Оператор бесконечно малого поворота без учета спина.
- •§ 42. Собственный механический момент (спин).
- •§ 43. Операторы ии их свойства.
- •§ 44. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 45. Матрицы Паули и их свойства.
- •§ 46 Понятие о спинорах
- •§ 47. Уравнение Паули Мы писали волновое уравнение в виде
- •§ 48. Операторы и, и их свойства
- •§ 50. Принцип тождественности.
- •§ 51. Оператор перестановки и его свойства
- •§ 52. Симметричное и антисимметричное состояния.
- •§ 53. Обменное взаимодействие
- •§ 54. Основное состояние атома гелия
- •§ 55. Схема Юнга квантовой механики.
- •1. И ,
- •2. И .
- •§ 56. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: нулевое и первое приближения.
- •§ 58 Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: второе приближения.
- •§ 59. Критерий применимости теории возмущений.
- •§ 60. Стационарная теория возмущений в случае близких энергетических уровней.
- •§ 61. Метод (представление) Шредингера. Оператор эволюции и его свойства.
- •§ 62. Метод (представление) Гейзенберга. Уравнение движения для оператора.
- •§ 63. Уравнение эволюции среднего значения физической величины. Соотношение неопределенности: время – энергия.
- •§ 64. Матричное представление операторов.
- •§ 65. E – представление.
- •§ 66. Уравнение Шредингера в матричной форме.
- •§ 67. Матричная формулировка задачи о линейном гармоническом осцилляторе.
- •§ 68. Расчет матричных элементов операторов .
§ 48. Операторы и, и их свойства
Это операторы полного механического момента, они определяются:
Сумма орбитального и спинового моментов.
(это размерный опертор)
Этот опертор обладает всеми коммутационными свойствани, что и опертор , а именно:
, тогда . Мы использовали формулу 2, т. к. оператор полного момента осуществляет вращение в пространстве полных переменных .
Z –овая проекция ограничена по закону
,
Так как , а, то выясняется, чтоне пропорционален, т. к. гиромагнитные отношения
Также
Если известно:
и ,
то
§ 49. Тонкая структура атомных уровней (мультиплетность).
При решении задачи о электроне в центральном поле, мы не учитывали дополнительного слагаемого, которое следует из тонкой структуры; это слагаемое называется спин-орбитальным взаимодействием. Это взаимодействие описывается релятивистским оператором .
,
где
В приближении самосогласованного поля
Далее будем писать
Если поместить спиновую частицу в магнитное поле , то получим добавку к энергии
При орбитальном движении электрон будет порождать поле
Но существует спиновый момент
Тогда ибудут взаимодействовать между собой и порождают спин-орбитальное взаимодействие.
Но мы не можем говорить о траектории электрона, тогда спин-орбитальное взаимодействие “размазано” по всему пространству локализации.
Функция
,
где
кулоновский потенциал электрона.
Гамильтониан запишем в виде
, (*)
где - гамильтониан, не учитывающий спин-орбитальное взаимодействие.
Для нахождения энергетических уровней надо решить задачу Штурма-Лиувилля с оператором (*):
(**)
Интегралом движения является полный механический момент .
Интегралы движения называются хорошими квантовыми числами.
Наряду с интегралами движения могут бытьи, когда.
Пусть добавка малая, тогда можно использовать теорию возмущений (т. е. использовать разложение по малому параметру), тогда и энергия из (**) для оператора(*) будет (в разложении до первого члена):
,
где
Здесь оператор без учета спин-орбитального взаимодействия, тогда
Таким образом существует две задачи
(1)
(2)
Решение задачи (2) нам известно, а решение задачи (1) найдем из теории возмущений.
Для (2) энергия квантуется, спектр дискретный, тогда для i-ого уровня имеем ,. Подi понимаем набор квантовых чисел определяющих состояние атома, т. е. n l s ml ms
Поскольку атом может содержать много электронов, то энергия может иметь зависимость от первых трех квантовых чисел, поэтому по ним чаще всего не бывает вырождения.
По () кратность вырождения(2l+1).
По () кратность вырождения(2s+1).
Тогда кратность вырождения (2s+1)(2l+1).
Рассмотрим свойства матричных элементов:
,
предполагая, что
.
Тогда
{используем ортонормированность функций}=
Таким образом матрица имеет диагональный вид.
Нахождение собственных значений некоторого оператора сводится к диагонализации матрицы. Если матрицу диагонализировали, то по диагонали стоят собственные значения оператора, а базис образуют собственные функции.
Итак рассмотрим матричные элементы:
,
здесь невозмущенная собственная функция из задачи (2).
Из теории возмущений известно, что в первом приближении i-ый уровень имеет вид
Рассмотрим диагональный элемент спин-орбитального взаимодействия
.
Легко видеть
,
тогда
Разделяя переменные, имеем
,
где - радиальная часть волновой функции.
- это суммирование и интегрирование по.
Рассмотрим вспомогательный вопрос:
,
a и b – номер частицы. Так как a и b разные частицы, то их полные механические моменты одновременно измеримы.
Рассмотрим среднее
Усреднение по некоторому конкретному состоянию дает собственное значения оператора .
.
Найдем
Мы знаем, что
Теперь запишем среднее для :
Вместо ,.
При заданных квантовых числах и, квантовое числоменяется в интервале.
Часто вместо ииспользуюти. Вырождение понаходится: , тогда
Энергетические уровни с учетом спин-орбитального взаимодействия зависят от квантового числа , поэтому производят вышеуказанную замену.
Из вышесказанного ясно, что
.
Здесь нет индекса , т. е. вырождение по этому индексу остается. Кратность вырождения здесь =(2j+1)
Тогда, пусть был уровень
Совокупность этих линий, которые образовались в результате спин-орбитального взаимодействия называется мультиплетом.
Найдем расстояние между двумя соседними уровнями:
{здесь нет разности по l и s, т. к. у мультиплетных линий l и s одинаковые}
Здесь
С ростом j энергия в мультиплете возрастает, если A положительное. Это нормальный мультиплет.
Если , то обращенный мультиплет. С ростом энергия в мультеплете падает.
Рассмотрим дублет натрия:
Всю замкнутую заполненную оболочку электронов можно рассматривать как одно большое ядро. Тогда вокруг этого большого ядра вращается свободный электрон.
Здесь , так как спин большого ядра равен 0, а спин электрона.
Для уровня : .
.
Здесь расщепление уровня не будет. Этот уровень называется синглетом.
Для уровня 3p: .
Здесь уже два состояния (расщепление уровня на 2).