ман для 1ПМ-11 / 2 курс 2011 / лекции / Дійсні числа. Числові множини / лекция № 3

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Горлівський технікум Донецького національного університету

ЛЕКЦІЯ № 3

з теми: «Обмежені, необмежені множини, верхня, нижня

грані числових множин. Принцип Архимеда, вкладених відрізків.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.01 Дійсні числа. Числові множини.

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено Розробив викладач

на засіданні циклової Велікодна О. В.

комісії інформаційних технологій

та прикладної математики.

протокол № 1 від 30.08.2011 р.

Голова циклової

комісії ІТ та ПМ І. П. Сошина

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Обмежені, необмежені множини, верхня, нижня грані числових множин. Принципи Архимеда, вкладених відрізків.

Мета:

• Дидактична: вивчити нові властивості дійсних чисел, узагальнити знання про числові множини.

• Виховна: виховувати серйозне ставлення до математики як науки, здатність читати математичну літературу, вміння чітко формулювати власні думки.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція

Вид: лекція – діалог.

Методи та форми проведення заняття: язиковий, дедуктивний, репродуктивний.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Обмежені, необмежені множини, верхня, нижня грані числових множин. Принципи Архимеда, вкладених відрізків.

• Мотивація вивчення матеріалу: визначити основні властивості дійсних чисел та підмножин множини дійсних чисел для вільного оперування їх поняттям при вивченні нових питань математичного аналізу.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

План лекції № 3.

1. Обмежені та необмежені множини.

2. Верхня та нижня грані множини.

3. Принцип Архімеда.

4. Принцип вкладених відрізків.

Конспект лекції № 3.

Тема: «Обмежені, необмежені множини, верхня, нижня

грані числових множин. Принцип Архимеда, вкладених відрізків.»

1. Визначення 1. Множина ХR називається обмеженою зверху, якщо . Число b називається верхньою границею множини Х.

Множина ХR називається обмеженою знизу, якщо . Число b називається нижньою границею множини Х.

Множина, що обмежена зверху та знизу, називається обмеженою.

Множина є необмеженою зверху, якщо .

Множина є необмеженою знизу, якщо .

Множина, що необмежена зверху та знизу, називається необмеженою.

Приклади: множина N натуральних чисел – обмежена знизу;

Відрізок [a; b], де a та b з множини R – обмежена множина;

Множини R, Q, I – необмежені.

2. Визначення 2. Нехай числова множина Х обмежена зверху. Найменше серед чисел, що обмежують зверху множину Х R, називається її верхньою гранню та позначається sup X(supremum – найбільший).

Визначення 3. Нехай числова множина Х обмежена знизу. Найбільше серед чисел, що обмежують знизу множину Х R, називається її нижньою гранню та позначається inf X(infimum – найменший).

За допомогою нерівностей визначення точної верхньої та точної нижньої граней множини будуть мати вид:

β = supX, якщо:

1. ;

2. 

α = infX, якщо:

1. ;

2. 

Приклади: aR, bR, a ≤ b. Тоді sup [a, b] = sup (a, b) = b; inf [a, b] = inf (a, b) = а. Бачимо, що sup та inf множини можуть як належати, так і не належати множині.

3. Теорема: Будь – яка непуста обмежена зверху числова множина має верхню грань, будь – яка обмежена знизу непуста числова множина має нижню грань. (доведення теореми розібрати самостійно. Підручник Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998. – Т. 1, стор. 40-42).

Якщо числова множина необмежена зверху, то sup Х = +∞; якщо числова множина необмежена знизу, то inf Х = -∞. Тому, будь – яка непуста числова множина має верхню(нижню) грань, скінчену, якщо вона обмежена зверху(знизу), та нескінчену, якщо вона необмежена зверху(знизу).

4. Теорема(принцип Архімеда): Яке б не було дійсне число а, існує таке натуральне число n, що n > a.

Наслідок: Для будь – яких чисел a та b, таких, що 0 < a < b, існує натуральне число n, для якого виконана нерівність: na > b. (доведення теорем розібрати самостійно. Підручник Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998. – Т. 1, стор. 43)

5. Визначення 4.

Система числових відрізків називається системою вкладених відрізків, якщо , тобто якщо .

Теорема: Будь – яка система вкладених числових відрізків має непустий перетин.

Визначення 5. Довжини відрізків називаються збіжними до 0, якщо .

Теорема (принцип вкладених відрізків): Для будь – якої системи вкладених відрізків , довжини яких збігаються до 0, існує одна точка ξ , що належить всім відрізкам системи, при цьому ξ = sup = inf.