ман для 1ПМ-11 / 2 курс 2011 / лекции / Дійсні числа. Числові множини / лекция № 2

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Горлівський технікум Донецького національного університету

ЛЕКЦІЯ № 2

з теми: «Властивості дійсних чисел, інтервали дійсних чисел, окіл дійсного числа.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.01 Дійсні числа. Числові множини.

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено Розробив викладач

на засіданні циклової Велікодна О. В.

комісії інформаційних технологій

та прикладної математики.

протокол № 1 від 30.08.2011 р.

Голова циклової

комісії ІТ та ПМ І. П. Сошина

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна

Тема: Властивості дійсних чисел, інтервали дійсних чисел, окіл дійсного числа

Мета:

• Дидактична: повторити основні властивості дійсних чисел, узагальнити знання про числові множини.

• Виховна: виховувати серйозне ставлення до математики як науки, здатність читати математичну літературу, вміння чітко формулювати власні думки.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція .

Вид: лекція – діалог.

Методи та форми проведення заняття: язиковий, дедуктивний, репродуктивний.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

1. Визначити дійсне число;

2. Визначити множину натуральних чисел;

3. Визначити множину цілих чисел;

4. Визначити множину раціональних чисел;

5. Визначити множину ірраціональних чисел;

6. Визначити поняття: відрізок, інтервал, полу інтервал.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Властивості дійсних чисел, інтервали дійсних чисел, окіл дійсного числа.

• Мотивація вивчення матеріалу: визначити основні властивості дійсних чисел та підмножин множини дійсних чисел для вільного оперування їх поняттям при вивченні нових питань математичного аналізу.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу:

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

План лекції № 2.

1. Дійсні числа. Властивості дійсних чисел.

2. Числова пряма. Окрестності.

Конспект лекції № 2.

Тема: «Властивості дійсних чисел, інтервали дійсних чисел, окрестності.»

1. Множину дійсних чисел позначимо R, підмножини множини дійсних чисел назвемо числовими множинами.

Множину натуральних чисел позначимо N, множину цілих чисел позначимо Z, множину раціональних чисел – Q, множину ірраціональних чисел – I. Вірно включення: NZR; QIR.

Дійсні числа можна додавати, перемножити, розділити, зрівнювати за величиною. Перерахуємо основні властивості, які належать цим операціям.

1. Операція додавання. Будь – якій парі a та b дійсних чисел відповідає одне число – сума, що позначається (a + b), так, що виконуються наступні умови:

• ;

• ;

• ;

• .

Число називається різницею чисел a та b та позначається (a - b).

2. Операція множення. Будь – якій парі a та b дійсних чисел відповідає одне число – добуток, що позначається (a * b), так, що виконуються наступні умови:

• ;

• ;

• ;

• .

Число називається частним від ділення чисел a та b та позначається (a / b).

3. Зв’язок операцій додавання та множення.

.

4. Впорядкованість. Для дійсних чисел визначено відношення порядку. Для будь – яких двох різних дійсних чисел a та b має місце одне з двох відношень(нерівностей): чи a < b (b > a), чи а > b (b < a). При цьому виконуються такі умови:

• Якщо a < b та b < c, то a < c;

• Якщо a < b, то для будь – якого числа с виконано: a + c < b + c;

• Якщо a > b та c > 0, то ac > bc;

Запис a ≤ b (b ≥ a) означає, що чи a < b, чи a = b. Множина дійсних чисел відповідає властивості щільності дійсних чисел: для будь – яких різних дійсних чисел a та b, таких що a < b, існує таке число с, що a < c < b.

5. Неперервність. Для будь – яких непустих числових множин Х та Y, для яких виконано: x ≤ y, існує число а, яке задовольняє умову: x ≤ a ≤ y, .

Спираючись на властивості 1) – 5) дамо аксіоматичне визначення множини дійсних чисел.

Визначення 1: Множина елементів, що задовольняють умовам 1) – 5), що вміщує більше одного елементу, називається множиною дійсних чисел, а кожний його елемент – дійсним числом.

Перелічені властивості визначають множину дійсних чисел в тому сенсі, що з них прослідують всі інші властивості множини дійсних чисел.

Числа 1, 2 = 1+1, 3=2+1, й так далі називаються натуральними. З визначення множини натуральних чисел прослідують наступні його характеристичні властивості:

Якщо множина елементів А задовольняє умовам:

1. AN;

2. 1А;

3. , то

А=N.

Цими властивостями натуральних чисел визначається принцип доведення математичної індукції. Якщо маємо множину тверджень, кожному з яких приписане натуральне число та якщо доведено, що

1) є вірним твердження з номером n = 1;

2) зі справедливості твердження з будь-яким номером n з множини N прослідує справедливість твердження з номером n+1, то

тим самим доведена справедливість усіх тверджень, тобто будь-якого твердження з довільним номером n з множини N.

Числа 0, ±1, ±2, … називають цілими числами Z. Числа, виду , де m та n – цілі, а n ≠ 0, називаються раціональними числами Q, числа, які не є раціональними, називаються ірраціональними I.

Також, для дійсних чисел визначені операції возведення у ступінь та виділення кореня.

.

Нехай а > 0, nN. Число b називається коренем n – го ступеня з числа а, якщо bⁿ = a. ; ; арифметичний корінь - невід’ємне значення кореня.

Якщо - раціональне число, p, q – цілі, q ≠ 0, то для а > 0 .

називається модулем (абсолютною величиною) числа. Для модуля виконуються такі нерівності: ‌|a + b‌| ‌‌≤ |a| + |b|; ||a| - |b|| ≤ |a - b|‌‌‌‌‌, a, bR.

2. Множину дійсних чисел називають числовою прямою, її числа – точками. Доповнюють числову пряму елементами + ∞ та - ∞, вважають, що - ∞ < х < + ∞. Доповнену множину дійсних чисел називають розширеною числовою прямою. Розглядають такі підмножини розширеної числової прямої:

Відрізок:

Інтервал:

Полу інтервал: , .

Якщо аR, то -окрестністю числа а називають інтервал . Для а = ±∞ маємо: , . У будь – яких точок розширеної числової прямої знайдуться окрестності, що не перетинаються.