ман для 1ПМ-11 / 2 курс 2011 / лекции / Неперервність функцій / лекция № 14

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Горлівський технікум Донецького національного університету

ЛЕКЦІЯ № 14

з теми: «Рівномірна неперервність функцій на множині.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.04 Неперервність функцій

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено Розробив викладач

на засіданні циклової циклової комісії ПМ

комісії «Прикладна математика». Велікодна О. В.

протокол № ____ від _______20__ р.

Голова циклової

комісії ПМ І. П. Сошина

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: 15.02.2012 курс: ІІ, група 2ПМ10

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Рівномірна неперервність функцій на множині.

Мета:

• Дидактична: повторити поняття елементарної функції, розглянути питання неперервності елементарних функцій, навчитись досліджувати функцію на неперервність та рівномірну неперервність.

• Виховна: виховувати професійно зацікавлену особистість, здатну вільно мислити та логічно висловлювати свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням технологій проблемного та проектного навчання.

Тип: лекція № 14

Вид: лекція – дослідження проблемних питань.

Методи та форми проведення заняття: метод проблемного викладення матеріалу, репродуктивний, дослідницький.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Рівномірна неперервність функцій на множині.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основні поняття, пов’язані з неперервністю елементарних функцій та їх застосуванням при розв’язанні прикладних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання: Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989 – том 1, стор. 203, № 19, стор. 208, № 57, 58.

План лекції № 14.

1. Визначення рівномірно неперервної функції.

2. Умови рівномірної неперервності функції на множині. Теорема Кантора.

3. Приклади.

Конспект лекції № 14.

Тема: «Рівномірна неперервність функцій на множині.»

Визначення: Функція , визначена на множині називається рівномірно неперервною на , якщо для будь – якого існує таке , що для будь – яких двох точок , що задовольняють умові , виконано нерівність .

Якщо функція рівномірно неперервна на множині Е, то вона і просто неперервна на Е, тобто неперервна в кожній точці (зворотне твердження не вірне, так як в цьому випадку вибір залежить не тільки від , а й від самої точки ). У випадку, коли функція рівномірно неперервна на множині Е, вибір відповідного залежить тільки від та не залежить від розглянутих точок множини Е.

Приклади.

1. Функція (х) = х рівномірно неперервна на всій числовій осі, так як, якщо задане число  > 0, достатньо взяти  = , тоді, якщо , то .

2. Функція не є рівномірно неперервною на своїй області визначення, тобто на числовій осі, з якої видалена точка х = 0. Дійсно, якщо взяти, наприклад  = 1, то при будь-якому малому   0 знайдуться точки , наприклад , n – достатньо велике натуральне число, такі, що , але

Достатня умова рівномірної неперервності функції на інтервалі: якщо функція визначена та має обмежену похідну на інтервалі , то вона рівномірно неперервна на цьому інтервалі.

Принципове значення має наступна

теорема Кантора:

Функція, неперервна на компакті, рівномірна неперервна.

Наслідки: неперервна на відрізку функція - рівномірно неперервна.

Часто, найбільш зручним є підхід до поняття рівномірної неперервності за допомогою визначення модулю неперервності функції: нехай функція визначена на множині . Її модулем неперервності називається функція .

Модуль неперервності є монотонно зростаючою функцією.

Критерій рівномірної неперервності: для того, щоб функція , визначена на множині , була рівномірно неперервна на цій множині, необхідно та достатньо, щоб ,

тобто

Приклади.

1. Знайдемо модуль неперервності функції , . Для будь-якого  > 0 та вільного фіксованого маємо: . Ця нерівність є вірною для всіх й так як при будь-якому фіксованому  маємо , тобто модуль неперервності функції , дорівнює +.

2. Знайдемо модуль неперервності функції , . Нехай . Тоді, в силу нерівності , отримаємо, що . Але, якщо взяти , то . Отже, маємо, що .

3. На відрізку модуль неперервності функції дорівнює . Маємо, , тому функція є рівномірно неперервною на відрізку .

4. На множині модуль неперервності функції дорівнює , тому ця функція не є рівномірно неперервною на всій числовій прямій.